平行四邊形對角線平分是否有必要解析法證明？

01-29

這是一位老師給出的解釋
@王希@王箏@白如冰@純數學狗@數學少女Rikka這道題如果放在初級教育，比如初中，是絕對正確的答案，應該給滿分，在碩士研究就顯得不嚴謹。
大家都懂的，有些知識在初中正確，在高中就算錯誤，在高中正確，在高等教育中又要推翻重建
這道題的不嚴謹在於沒有考慮到：定理的證明往往只適用於某種正常的、一般的、而非異常的或退化的情形。對於退化的情形，往往對證明作必要的修改才能適用。或者需要改變全部證明。有時對於退化情形定理本身甚至完全失去意義以至根本不成立。

完畢

話說啊，這個手寫的東西難道只有我看不懂么。。這是個證明？完全沒有證啊。

說回來，聊點廢話吧。如果不談正確性，第二個證明並不比第一個好。雖然處理斜率什麼的都把分式變成了整式，看起來能夠包容很多情況，但這本來就不是要討論的情形，平行四邊形退化成一條線還有什麼好證明的。對退化的東西，煮不在乎。這個與學力眼界無關，甚至我覺得越是學力高了，越不會關心這種無聊的問題。這種證明的問題就好比是零測集，裡面發生了什麼樣的事情都不要緊的。或者說的更絕一點，平面幾何本身相對於現代數學而言已經是零測集了吧。我覺得數學是個很「實用」的學科，就像你雖然天天說話但是還會記得zhui的聲調標在哪裡么？

不過平心而論，看著圖用邊和角的語言去證明確實是會有問題的，這個題目不是很典型，比如要做輔助線的情形下，自然的問題是為什麼兩條線會有交點？為什麼交點在某兩個給定的點之間？這種問題確實是初中生和初中教材沒法回答的。一個看起來穩妥一些的做法是，把所有的幾何全部建立在歐式空間裡面，這樣子什麼第五公設啊之類的全部變成了可以證明的定理，平面幾何的數學基礎上可以做實的。（當然為了保證嚴格性，總得講實數的公理化吧，不過我覺得這一點稍微容易講清楚一些，比起真正的平面幾何公理。）但是這種強行Bourbaki的做法沒有任何意義和必要。

最後，個人認為並沒有什麼初中正確高中錯誤的知識。理化生裡面也許有，但數學裡不會有。一切定理成立都是有條件的，把條件帶上，證明有理有據，那怎麼會錯呢？

可以用解析法證明，不代表一定要用解析法，而且我怎麼沒看出解析法就不是適用於一般的未退化的情況了，你平行四邊形退化成一條直線，哪來的交點？

定理的證明往往只適用於某種正常的、一般的、而非異常的或退化的情形。

然而定理本身就「只適用於某種正常的、一般的、而非異常的或退化的情形」啊，這麼證明又有什麼錯呢？

一般來說，解析法比所謂的「純古典幾何」方法，更能處理退化情況。

不過字母用得好亂，看不懂他在寫什麼。

尤其題設部分三角化，不知所云。

這一定不是一位數學老師吧……

平行四邊形ABCD，已知A(0，0)，B(X1，0)，D(X2，Y1)，則C(X1+X2，Y1)。

AC和BD的中點坐標都是((X1+X2)/2，Y1/2)。

像這種基礎的東西證明起來有時候特別麻煩，你知道要怎樣證一條數軸上面的點是稠密的嗎，搜尋下實數的完備性，保證讓你懷疑人生。

手寫圖為一位老師給出的證明方法