補充幾個問題
1.學習基礎需要什麼，有哪些教材paper可以使用？2.兩者之間關係是什麼？
3.有什麼應用（物理或者其他的）的？
許多人邀請我回答這個問題，然而我對mirror symmetry早已失去興趣了。一些不太嚴肅的人會告訴你mirror symmetry就是symplectic geometry = complex geometry。與其說這些人在做數學，不如說他們在打廣告。數學家對於等號是很嚴肅的，在什麼意義下相等如果說不清楚就決不能使用這個符號。如果僅僅為了搞一些漂亮的slogan就連數學的聖潔和高尚都不顧，那樣做在我看來與個人原則相悖。何況上述不等號明顯是不成立的。從mirror symmetry的角度只能看到辛幾何的rigidity aspect，這一點我已多次強調過。在我看來，mirror symmetry最能make sense的部分只有homological mirror symmetry（HMS）。但是你問的這個問題只跟SYZ mirror symmetry有關，所以這次只講SYZ。若是有人對HMS感興趣，以後可以另開一貼講HMS。
SYZ認為mirror symmetry就是T-duality，這個T-duality的概念本身也是物理上早就有的，而且被認為是trivial的，但是96年的時候SYZ用這個來理解mirror symmetry。因為這是個purely geometric的解釋，所以剛出來的時候就吸引了很多人的眼光。為什麼會這樣呢，就是因為關注mirror symmetry的人大多數都不太懂triangulated category這種fancy的數學，他們會的就是具體的幾何，尤其是Yau的學生，他們的風格就更偏向於研究具體的度量和幾何結構之類的東西。假如有一種方法能夠避開category的使用，又能做上前沿的數學物理，那當然是很好的。當然我們從小學時候就知道，代數是嚴格的，而單純靠幾何（圖像）很多時候不能把問題講嚴格。就是這個最最simple的原因，導致SYZ發展了很多年還是停滯不前。當然有些人會說我biased，但是事實如何有目共睹，歷史也會見證一切的。
SYZ的的想法就是要在Calabi-Yau流形
上找到special Lagrangian fibration，然後
的mirror Calabi-Yau上應該有dual special Lagrangian fibration。這個猜想的表述就含混不清，因為首先沒有任何理由認為任何一個compact Calabi-Yau上都會有special Lagrangian fibration（根據Gromov的定理，non-compact Calabi-Yau很多時候是肯定沒有這種fibration，比如symplectic vector space就沒有）。其次什麼叫一個special Lagrangian fibration的dual？現在可不是做代數幾何，你可以定義dual elliptic fibration。因此，就連這個猜想本身要說嚴格都是很困難的。但是數學的發展有一種趨勢，就是過去的數學家提一個猜想都要把命題說清楚，但到了現在，有一些模糊的意識也叫作猜想。至於說這個趨勢好不好，相信自有公論。這樣的例子還包括Thomas-Yau對於stability condition和Lagrangian mean curvature flow的猜想，最近Joyce花了很大力氣試圖把這個猜想本身寫嚴格。由此可見證明這些猜想是多麼無望。SYZ猜想的確能在一些情況下解釋mirror symmetry，比如torus，這時候的special Lagrangian fibration就是trivial projection，而沒有singular fiber的情形所謂的dual fibration就是它自己。到了2維，K3曲面的情形就已經不能用SYZ解釋了。因為如果要用special Lagrangian fibration，那麼現在知道的唯一構造方法就是start with elliptic fibration，這是個complex Lagrangian fibration，經過一個叫做hyperkahler rotation（實際上就是改變K3曲面作為hyperkahler manifold的幾何結構）的過程我們就得到special Lagrangian fibration。然而已經知道並不是所有的K3 surface都有elliptic fibration，因為being elliptic在K3的模空間中是個codimension 1 condition，所以大多數K3曲面都不elliptic。因為弦論的關係，物理學家最關心的是Calabi-Yau 3-fold，而研究得最多的simply connected CY 3-fold就是quintic 3-fold
。此時想要找一個special Lagrangian fibration
就更無望了。99年的時候Mark Gross寫了篇文章叫topological mirror symmetry，他在一個homeomorphic to quintic 3-fold的流形上構造了一個topological
fibration，並且證明了
的mirror
homeomorphic to這個fibration的topological dual。所謂toplogical dual的意思是把那些Euler characteristic是+1的singular fiber換成Euler characteristic是-1的singular fiber。這個工作發了Invention。這個方向目前最好的結果是10年前Castano-Bernard-Matessi能夠證明一個同胚於quintic 3-fold的symplectic 6-manifold上存在一個Lagrangian
fibration。
在Joyce的構造中，singular fiber分布在trivalent graph 
上，而在C-M的構造中，singular fiber分布在2維的locus 
上，其中
是trivalent graph的thickening，它叫做amoeba。一個古典的辛幾何定理告訴我們，在regular Lagrangian fibration的base上面有自然的affine structure，這個affine structure可以用action-angle coordinates來描述。假如fibration有singular fiber，那麼你得到的就是affine structure with singularity。比如在我們的情形，
上的affine structure就有singularity，而affine structure在
上是well-defined。
由於構造fibration的嘗試多年以來一直沒有進展，所以數學家們漸漸就放棄了。後來Siebert在03年左右有一個idea，這是inspire by toric geometry，就是說想要recover Calabi-Yau 3-fold
的信息，只需要知道base上affine structure的信息就足夠了，而有了這些信息，我們就可以構造mirror
。後來他想找一些懂代數幾何的人合作，經過一番找尋發現只有Hartshorne的學生Mark Gross合適。Siebert的想法的動機是假如
上的special Lagrangian fibration有singular fiber，那麼物理學家expect
可以通過glue一些affine chart得到，而這些affine chart的glue辦法是被instanton correction決定的，而instanton correction其實就是
的Lagrangian fiber所bound的holomorphic disk。當我們從一個chart過度到另一個不同的chart上時，相應的disk counting invariant會發生變化，這叫做wall-crossing。而之所以會有wall-crossing現象就是因為singular fiber的出現，或者等價地，base上affine structure的singularity的出現。可以想像，在理想情況下，這些holomorphic disc可以被project到base上，所以我們從base上就只看到一些real curve，這些就是所謂的
tropical disk。這就是為什麼tropical geometry可以replace symplectic geometry在mirror symmetry中的位置。因為構造fibration無望，count disk數學家不會（在很多時候甚至不會嚴格定義，因為有non-trivial transversality issue，而FOOO大家又不敢相信），所以最後SYZ這個program其實可以說是草草收場，它的取代物的Gross-Siebert program也就應運而生了。出於對前輩的尊敬，他們有時候依然管這叫SYZ，然而具體做法已經偷梁換柱：給一個compact Calabi-Yau，他們不是去associate一個special Lagrangian fibration，而是直接associate一個affine manifold with singularity，也就是直接從Calabi-Yau流形提取一些combinatorial data，然後用這些combinatorial data構造mirror。這當然就基本上變成了代數幾何和組合數學的疊加。而SYZ的意義就在於給了這些combinatorial data一個無法嚴格化的幾何解釋，即這些data可以從一個special Lagrangian fibration得出。事實上，早先Kontsevich-Soibelman就有類似的想法，並且他們essentially對K3曲面寫出了相應的wall-crossing formula。這個wall crossing formula一般來說有無窮多項，這個現象叫做scattering。在高維，具體的wall-crossing formula由於太複雜一般是寫不下來的，Gross-Siebert的定理只是告訴你存在性，也就是從CY提取combinatorial data，再從combinatorial data得到mirror這件事情用代數幾何在原則上可以做，但是具體做出來是什麼太複雜，沒辦法算。由此可見，假如你想從幾何角度出發先構造fibration再做counting holomorphic disk得到mirror，這簡直是痴人說夢。然而出於某種眾所周知的原因，對SYZ的研究在近期還會繼續。相比於去證明SYZ，更靠譜的想法應該是努力去證明某些compact Calabi-Yau流形上不存在special Lagrangian torus fibration。若能證明，必發Annals。之前Neves證明了Thomas-Yau猜想是錯的就發了Annals，還得到了Veblen獎。當然，他在Willmore猜想上有更重要的貢獻。不過有些話也不能說得太絕對。在我看來SYZ還是導致了一個有意義的幾何應用，就是Auroux的infinitely many monotone Lagrangian tori in
：Infinitely many monotone Lagrangian tori in $$mathbb {R}^6$$R6。他的學生Vianna對del Pezzo surface證明了類似的結果，在他的證明裡用tropical disk的counting來代替algebraic count of Maslov 2 holomorphic disk（以提供motivation）這個想法也起到了重要作用。
Mirror symmetry 是啥這問題挺大，如果一點都不知道，有很多科普類文章，能給你講 A-model, B-model, M_{g, n}, rational curves on P^2, mirror dual of quintic 3-fold 等等（關鍵詞 homological mirror symmetry）。當然這是故事的起點而不是終點，終點長啥樣我也不知道。
要是說這東西和 tropical geometry 有啥聯繫，那就是 Gross-Siebert program, 關於這個 Mark Gross 寫了本書, 就叫 Tropical geometry and mirror symmetry. Gross-Siebert 的大概意思就是可以通過 tropical geometry 來構造 mirror dual. 一邊可以看作一個帶奇點的 tropical manifold 
上的 fibration, 通過 Legendre transformation 可以構造它的對偶
（另一個帶奇點的 tropical manifold），mirror 就是這個對偶上的 fibration. 在奇點上的 fibre 可以用 combinatorial data 聯繫起來。
然後這個 program 在寫那本書的時候進展如何呢？從 one side 出發，可以構造另一邊的 singular fiber, 這個 singular fiber, 性質其實並不壞，它不僅是 normal crossing 的，還能裝上一個 logarithmic structure, 使得它還在某種意義下 「光滑」。理論上如果 logarithmic structure 足夠好，就可以通過形變 (deformation) 得到另一邊的 mirror dual. 但是 logarithmic structure 的狀態很尷尬，雖然局部看起來還比較正常，但通常並不是 logarithmic geometry 里研究過的那種 (coherent) 情形，所以 logarithmic geometry 里已經發展的 deformation theory 還不適用。所以在這裡算是卡住了。那本書的前一半講的大概是這些內容。不知道現在這個困難繞過去沒有。
雖然卡住了，但即使只知道 mirror family 的 singular fibre + log structure, 還是可以得到很多信息的，比如 curve counting 可以靠 tropical curve 的 counting 來做。那本書的後一半算了個例子（P^2），和這個有些關係。
（上述內容都說得非常模糊而且有可能有錯，對此我表示抱歉。並不是這個領域的專家，強答是因為我也想知道答案，拋磚引玉希望真正的專家出來說兩句。Mirror symmetry 這個領域很大，即使是專家做的東西可能也和上面這些也一點關係都沒有，只是因為原問題提了 tropical curve 才說這些。）
Why tropical geometry?推薦之前看過一個答案。
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