金融工程還有哪些值得研究的領域或思路？

01-28

如題

說明：這個由於最近一兩年環境大變，這個答案不具備時效性

瀉藥，這是一個很沉重很龐大的問題，我小心翼翼的僅自己陋見寫一些，這篇答案要寫上好一陣子了。

首先金融工程這個專業由於本身的熱門與近些年的飽和這一對矛盾，有了一些誤解：

1.所謂的金融工程的一點點東西早被研究的差不多了，成熟了，沒什麼好搞了。

2.工程和數學推動金融的思維在上個世界BSM的璀璨出世之後作為一個「半科學的思維」就再無交集，變為一個「應用^2數學」（就是借鑒應用數學的成果來解釋現象類似方向的一種戲稱，處於鄙視鏈最底端）。ps：這句話錯在前半句，後半句是公認的槽點

3.Q系就是做定價的！！

4.反正就是些隨機過程啊，伊藤啊，學學吹吹裝裝就好了嘛

這些一方面源於人們對這個學科的內容了解不多，另一方面也源於過度金融創新對金融系統的損害讓這些東西變得不那麼受歡迎了（尤其是監管者），不知者一多就形成了輿論上的妖魔化。但是僅因此就說,沒什麼東西好搞了，我得用波動率界大仙Jim Gatheral的話來反駁："Never feel too late to get involved, theres plenty more to do"

那麼究竟是哪些領域還有待探索呢，細分起來還是多如牛毛的：

1.特定方程解
這個可以說是金融工程里最最最純的搞數學的一批人。可能有的人會懷疑，我們已經有了那麼多數值法了，為什麼還要去搞「不值得的」解析解呢？實際上解析解（不光是定價），在金融工程和金融數學裡還是有相當意義的：

第一，個好的解析解可以揭示目標值的形成機制，通過研究解析解和研究過程發現的數學性質，可以根據這些性質「先驗」一些可能現象。最經典的例子就是BS了，雖然BS可以說給不出價格，但是其建立的兩個對應概率P1和P2，log normal 這些形成了一套框架，提供了很多有用的信息。又比如Levy框架下的的特徵函數半閉解：
$Pi_1 =1/2 +1/pi int_{0}^{infty } Re[frac{e^{-iwln(K)}Psi _{lnSt}(w-i)}{iwPsi _{lnSt}(-i)} ]dw$ $Pi_2 =1/2 +1/pi int_{0}^{infty } Re[frac{e^{-iwln(K)}Psi _{lnSt}(w)}{iw} ]dw$
這兩個概率沒有顯示解析解，但是求解他們所用的數值積分法的運算量比起MC還是少耗上不少時間的。當然這些年代有些久遠了，現在的解析解大多及其複雜。很多論文貓我這個非數學科班出身必須補充大量背景才能勉強讀得動。

上面這個例子就引出了解析解的第二個作用，大幅減少運算時間。因為現在大型機構的金融建模，動輒2000個變數，矩陣動不動上幾十萬。超大量的運算把很多求解問題變成了純計算機問題，俗不知當年幾大行搭建巨型風險模型的時候，請來的計算機專家比模型專家還要多（一個當事人告訴我的）。如果一個模型從數學上計算量就少了，少到了根源上，巨大的機器成本和人力成本將的以節省

第三，當以解析解實在困難到數學家們都束手無策的時候。人開始轉而求解一些他們的低階條件和近似函數，來尋找相似的數學性質。比較典型的就著名的Heston—Nandi 的 local vol surface:
$u_Tapprox ilde{v}^{}_s + hoeta frac{x_T}{ ilde{w}_T } int_{0}^{T} ilde{v}^{}_se^{-lambda^{}(T-s)}ds$ $ilde{w}_T =(v_0-ar{v} )left{ frac{1-e^{-lambda T}}{lambda} ight} + ar{v}T$ $lambda^{} =lambda - hoeta/2,~ar{v}^{}= ar{v}lambda/lambda^{}$ $ilde{v}^{}_s =(v-ar{v}^{})e^{-lambda^{}s} + ar{v}^{}$

這個方程不是heston local vol的解析解，他只是一個在擬設（Ansatz）：初期ATM和一二階矩高度相關下的一個穩定近似解。雖然不夠精確，但是他可以很好的幫助研究ATW skew這個衡量波動率「嘴巴歪度」的指標。

也正是由於這種解析解雖然美好但是求解困難的情況，就誕生了另一個金工裡面的領域與做方程解聯手合作的領域。

2.逼近（asymptotic）
因為模型複雜導致的解析解難求或者不值得求的情況遍布在金工這個領域的各個角落。但是僅能研究統計性質和運算量龐大的數值計算讓人對進一步的研究躊躇滿志，所以一幫腦洞極大的近似數學專家就插手了金融工程。

解析解求不出不代表不能研究模型的數學性質，做逼近的大神們第一個大的任務就是研究模型的性質之後「物色」（不知道用這個詞其不恰當）性質相近，在給定情況下穩定，具有良好解析性質的近似解。

由於可以逼近的目標非常多，所以逼近這個領域可以滲透金融工程和金融數學的各個角落的。舉個我最熟知的經典例子就是Gatheral本人的 SVI 曲面模型：
$sigma^2_{BS}(k) = a + nleft{ ho(k-m)+sqrt{(k-m)^2 +sigma^2} ight}$
由於波動率的隨機性，直接校準不能的出一個完成的imp 波動率曲面。這個逼近函數在imp vol曲面的點密度定義： $sigma^2(K,T|S0)=E[v_T|S_T=K]$ 下給出了一個以到期處S_T=K為條件的條件期望近似曲面。

同時逼近處理也要能表現出模型原有的統計性質，可以說，金工金數里逼近這個方向是站在了嫁接金融，嚴格數學，統計三個領域大橋的最中心。

3.隨機波動率（SV）
剛剛提到了十分多波動率，一部分是因為黑貓比較喜歡Gatheral 的vol surface這本書，另一部分是因為這一領域十分的新，新的文章和理論層出不窮。

為什麼說這是年輕的領域呢。先看相比之下所謂狹義上的「定價」領域：71年BSM三位上古賢者推出了無套利定價的框架，然後隨機過程下的定價理論，包括利率模型和套利機制在後人的研究下不斷壯大，到了現在變得連學術界都覺得需要「奧卡姆剃刀」。狹義上定價的內容確實如一般人的理解，被研究的差不多了。

而波動率領域則不然，94年Dupire一篇nonparameter local vol的論文才橫空出世。隨後96年Dupire聯合我大礦人生Derman和Kani完善了點密度下的imp vol和local vol的嚴格定義和框架。同一時間線，Steven Heston在93年開發出了最基礎的隨機波動率框架heston模型，隨後在98年，與Nandi基於GARCH給出了一個pricing的閉解，竟意外的啟發出了一套鞅下二階矩過程和瞬時條件期望波動率，開闢了一條方差過程下的條件期望曲面來近似vol surface的道路(這個工作是後來lewis在後來2000年受到了heston的啟發做出的)。框架在Mikhailovn，Nogel 和 Gatheral這些人的實證下才逐漸成型。可以這麼說，整套體系的初步完善也就是10年前。

這個領域的啟發性非常大，因為此前人們並沒有十分多的去研究一二階矩之間隨機性的聯繫，二階矩過程下的獨特特性。不同的市場下這些特性可能會各異，從而導致需要大量的從模型建立，到逼近，到校準再到實證的成套研究。在此基礎上，出現了各種細分，有專門研究二階矩過程特性的，有來自上面說道的逼近專家專門研究曲面校準和擬合的，有專門研究這個方向衍生品的。關於最後一點，比較新的vol衍生和新興的vix衍生正需要大量的研究來完善整個波動率世界。

4.優化（Optimization）
在剛才的描述中，我們也幾乎處處看到了需要這些人才的身影。和逼近不同，優化關心的事情不一樣，範圍廣的多，坑也深的多。黑貓對他們所知不多，只能說他們在金工金數領域的研究內容包括但不限於：

1.特定優化演算法設計和實現；2.特定函數目標的優化；3.特定模型校準；4.風險管理中的投資組合最優化；5.投資決策和效用的最優化……

5.風險管理
剛剛提到了風管，這個是貓水水的本專業。這個方向在歐美地區的金融機構屬於熱門方向，研究也趨於成熟。但由於其設計內容之多，成分之複雜，也不失為一個好的方向。

i.市場風險：這個領域黑貓讀書的時候涉及的比較多，屬於比較成熟的領域。研究的內容主要分為兩大類：一般標的資產風險和結構化產品的風險。前者比較關注一些P測度下的quantile，對倉位和槓桿進行控制；後者比較關注多個風險因子對資產的影響，歸因和解釋性。特別的，factor的挖掘在學術界和業界都是一個經久不衰的方向。

ii.信用風險：這裡需要講一下這些年一直不斷持續在更新對推動和完善的「某VA」體系。這個方向因為監管壓力所以業界極其關注，學術界也發文頻頻，模型層出不窮。由於傳統的EAD，LGD，PD三位一體框架在現在監管對保證金要求越來越嚴，模型要求越來越苛刻的環境下也在被不斷的刷新。黑貓所知的幾的較新的方向有：wrong way risk的衡量和參數選取，交易保證金的專有價值調整（MVA），巨型企業信用風險核算的計算優化和模型優化（是的，專門有為了這個方向優化計算的小方向，企業的信用矩陣太大了），中央結算中心（CCP @kisda 提醒：在國內譯為中央對手方）的模型建立（據說現在連美國都越管越嚴了，9月份將會出台強制中心Margin）

6.數值法和計算
在模型要求越來越高，計算量越來越大的今天。數值和計算這個方向的地位舉足輕重，沒有人敢瞧不起數值和計算方向的成果。我大金融窩的窩主 @Yupeng 就是計算方向的博士。這個領域成型很早卻一直在發展，因為人們的需求從來沒有停過。

這個領域博大精深，而且羞辱起智商比起其他領域絲毫不遜色。光一個MC就能發展出各種妖獸出來。離散化時的不同概形（scheme），特定方法的誤差分析，特定模型的演算法優化，計算性能這些都是一些經久不衰有人鑽研的領域。黑貓沒有涉足過多不敢多言，但是肯定的是，也許數值法和計算領域不容易出BSM這種究極體的核彈，但是永遠需要向我們芃哥這種一流的DPS。

7.不完備的市場（incomplete market）
這是一個金融數學界尚未從理論到實踐都尚未（尼瑪之前打錯，歧義巨大）被完全被解決的問題。其誕生的根本原因是因為在無套利框架下，所有具有風險價格的因素都必須體現在資產的價格上才能保證一個定價是公允的，「複製好了的」（hedged），無套利的。否則，只要有一個具有風險價格的因素沒有不能完全市場上的資產所複製，這樣的風險將得不到對沖，市場被稱為不完備的。被雖然現實世界某種意義上不存在無套利的產品，但是上面所說的問題確實際存在：比如黑貓賣了一手看漲期權，delta對沖執行完好，然而行權前最後3天秒地股票連續三天暴漲（假如我能買進的話），黑貓虧出了貓腎（交割時被迫高買低賣）…… 因為黑貓對沖不了最後三天的「跳躍風險」；

解釋一下上一段，需要指出的是：我想表達的風險是，為了交割哦被迫買高賣低的成本風險；如果跌到不能交易了，直接交割不能完成那是另一種流動性風險

不完備市場下的對沖和策略這個方向就是專門解決這種問題的方向，難點就在於特定風險的觀測，測度的選擇和對沖機制上。在這個領域裡已經研究出了很多對沖方法，有靜態（Static）,超級（Super），效用（Utility）和 Esscher transfer（一種由矩母函數構造的測度），具體機制黑貓還沒有完全學會，不敢多言。

值得一提的是，一個神一樣的教授Lane P. Hughston 在2009年提出了一種用債券線性組合人造測度來進行對沖的Rational Term Structure Models with Geometric L evy Martingales，據說金數界對這個方法的評價非常高（大概有《美麗心裡》放筆那個級別）。

黑貓有幸和一位普渡大學這個方向的學者進行過一次愉快的交流，他認為這個方向關鍵就是根據實際需求「人造測度」，所以無所謂是否完美解決不完備市場問題，只要在那個人的「視角下」對沖完整就可以了。這是他的文章：
http://www.stat.purdue.edu/~navarror/defense.pdf

8.利率模型
這是一個非常非常成熟的領域，也是金數研究里在業界要求最高的領域（因為動輒幾十億）。黑貓很喜歡看這方面的書，遺憾的是這個領域可以說已經成熟完善到快要「沒有下個十年」的程度了（被資金需求逼得研究的非常完善）。然而做頭還是有的，因為利率相關的衍生品太太太太複雜了，而且動不動就模型套模型。所以，在這個領域裡相關的內容哪怕挖出一個上面幾個方向上能完善內容，都算是重大突破了。

現在比較新興的研究有：multi-curve for tenor structure; low-zero-negative rate model和一些超級複雜的利率產品。

9.開創性領域
總是有些偉大的學者有夢想並且有實力能夠仰望星空：

i:Ross Carr recovery theorem
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s096-topics-in-mathematics-with-applications-in-finance-fall-2013/lecture-notes/MIT18_S096F13_lecnote25.pdf http://engineering.nyu.edu/files/carryu2012.pdf

Ross老爺子算是跟BSM一個級別的人了，二叉樹和CIR都有它的名字。然而老爺子老當益壯啊，去年發表了recovery theorem。簡單來說，期權的imp dist可以視為一個「人們認為的分布」，但是擬合回來的分布要麼是不合理假設下的參數分布（比如BS imp lognormal），要麼是極其粗糙的一些「imp樣本分布」。而老爺子居然聲稱：「Among other things, this allows us to recover the pricing kernel,
market risk premium, and probability of a catastrophe and to construct
model-free tests of the efficient market hypothesis.」，可以想像，一旦完善，近似有效的「人們認為的」信息將得到很好的還原，在imp層面上市場也變得「有效了起來」。然後需要八卦的是，Carr和Ross簡直基情滿滿。不但幫著安利理論而且還著手做出了推廣，這難道就是學術界的真.友誼么？

ii:Rama cont Functional Ito（好像他學生做的他幫著推廣，具體關係我也不清楚啊咧）

Rama cont 腦洞不小的,他居然嘗試「人造變差」開創了一個試圖從機理上解決一般Ito「以概率一收斂」這種統計上可能會出現blow up的（雖然理論上是0測度）的微積分原理：自己通過構建「路徑空間」創造了一整套路徑函數，定義了:「順滑」，「新變差積分」，「新鞅表示」，「新指數鞅」。因為水平有限，看下來有趣的同時也十分費勁（畢竟人家新創東西了，新概念很難消化）。不管這個東西以應用上如何，都是一個開創性的嘗試了。

後記：真相是……
好吧，其實這個問題不但是一些個人的見解，還是一篇黑貓有幸蹭到了才結束不久的BFS conference多個演講的遊記+讀書體會（相當多關於新領域的內容是從會上聽到的）。
本來在窩主專欄里想發一篇長文但是因為最近屁事多+懶癌一直沒動手，知道看到這個問題才緩緩托出。

知乎的規矩是沒圖說賈斯汀比伯，所以後面的圖你們就當遊記吧，內容可能會比較無聊：

這是一份書單，是的,黑貓蹭會的時侯又管不住手……給剁了

這些是遊記的「本體」……

是的，兩本書除了比上次那個賣書長篇答案里更破以外，還多了一行簽名！開光Q形態^_^

感謝 @Yupeng 芃哥給予的這次蹭游的機會，收穫實在是大。最直觀的感覺就是，多領域的交叉和細緻內容的挖掘在金數里還是層出不窮並且受到蠻大重視的。真心不是什麼很多人誤認為的「已經沒什麼東西好研究了」。

也許黑貓和很多人一樣最後讀不了博士，但是無論硬體上讀不讀博士，軟體上對一個領域發展的了解和追求是不能停止的。這篇遊記黑貓拋磚引玉，希望一隻腳伸進學術界這樣的狀態成為更多人的常態，因為往往能帶來不一樣且發展的視角，順便少一些誤解和反智。

最後，肥喵日食記：

去年聽INFORMS聽了7個session的金工，然後發了一條朋友圈，年少輕狂希望可以拋磚引玉:

聽了三天informs其中聽了7個session的金工，說一說現在金工的學術圈情況:

1.傳統的衍生品定價風控研究，目前只有香港那三所學校在做了，雖然三所學校的不少老師在interest里都寫了高頻，然而至少這次看不出來。

2.以DP做portfolio selection的，因為我不了解此前的發展，所以不好說這個領域的活力。有一些做risk averse和robust的，不過做完也就完了。

3.濫用機器學習水paper的，這部分真是無力吐槽了，用deep learning在四個數據集上測只有一個比logistic好了5%，這種我真覺得他的出發點就已經是水paper了。

4.在高頻數據上做nonparametric analysis的，主要就是realized measures和dimensionality reduction，這部分我認為中規中矩，將會是未來研究的奠基石。

5.各種非主流risk的研究，這部分可能是我讀書少，真是大開眼界了，諸如網路流模型研究系統性風險的，不過我不知道這些研究的歷史，也不好評價其活力。

總而言之整個學科讓我有一種不知道走向何方的感覺，都說做高頻，但業界也不是靠複雜模型取勝，更別說pattern只要被發現就會很快消失。另外除了Columbia和princeton的個別教授，頂尖學校確實做金融類研究的很少了。

以及本科一個關係比較好的老師的回復: