如何理解「光學定理」？

01-28

是不是說，圈圖可以轉化為樹圖來計算？

光學定理來自於S矩陣的幺正性，是幺正性的一個很重要的反映。

根據量子力學，S－matrix要求是幺正的，也就是說 $S^{dagger }S=1$ , 我們不關心非散射的部分，所以

S=1+iT, 代入可以知道 $i(T^{dagger}-T)=T^{dagger}T$ ,兩邊同時作用於 $langle f|$ 和 $|i angle$

左邊是散射振幅，可以把表示能動量守恆的delta函數提出來,左邊就是散射振幅的共軛減去散射振幅的形式

$i(2pi)^{4}delta^{4}(p_{i}-p_{f})(M^{*} (f o i)-M(i o f))$

右邊複雜一點，需要在兩個T中間插入一個完備性關係 $sum_{X}int dPi_{X} | X angle langle X|$ , 之後很容易看出它大概是兩個散射振幅相乘的形式

寫的詳細一點

$sum_{X}(2pi)^{4}delta^{4}(p_{f}-P_{X})(2pi)^{4}delta^{4}(p_{i}-p_{X})int dPi_{X} M(i o X)M^{*}(f o X)$

兩邊相等，可以約掉一個delta函數，不過這個形式已經很清楚了，因為兩遍的次數並不一樣，所以如果右側的散射振幅是樹圖階的話，左側需要是一圈圖階才可以相等，也就是說光學定理聯繫了樹圖和圈圖。並且這種關係是逐階都成立的。不過為什麼叫光學定理，這一點我不是很清楚。。。

證明方式前面有答案說過了，我再給出幾個關鍵詞幫助理解吧，手機打字說不了太詳細，看不懂怪我。

Breit-Winger Distribution

在唯象的描述一個會衰變的粒子的傳播子的時候，我們可以給質量帶一個虛部。這樣的結果就是傳播子的極點不再出現在實軸上，而是多出來一個虛部，出現在遠離實軸的位置，共振峰也再不是一個delta函數。遠離的程度會影響共振峰的寬窄，因此才把它引入的虛部叫做衰變寬度。

量子場論中的衰變寬度。

應該記得量子場論中定義的衰變寬度是什麼吧？衰變矩陣元的平方做相空間積分再乘以流因子就是寬度了。那麼這個量問什麼叫寬度呢，有沒有想過？

衰變中的光學定理

考慮一個粒子衰變的圖，和一個粒子的它能修正圖。如果按照光學定理把後者切開的話就會發現，自能修正圖正好對應衰變過程，因此它的虛部就對應於衰變寬度。

從另一個角度，自能修正圖是對粒子質量的修正，因此這個圖的虛部也會出現在在質量的虛部上，成為Breit-Winger Distribution中的衰變寬度，這就將二者聯繫起來了。

傳播子的小虛部帶來的奇異性。

在得出傳播子的時候，為了讓結果不發散，我們給分母上添加了一個小虛部，這個小虛部帶來的結果是傳播子的虛部變成了一個delta函數，在粒子經過極點的時候，也就是粒子在殼的時候，這個delta函數是佔主導的，實部反而不重要了。

光學定理與傳播子的奇異性。

其實光學定理的貢獻就正好是把粒子在殼時候的貢獻抽出來，也就是讓被切開的傳播子都變成在殼外線，把這些傳播子的表達式都變成delta函數，這樣得到的就正好是完整結果的虛部。

圈圖過程的虛部

如果計算一個圈圖修正的時候，圈內的粒子可以同時在殼，根據上面的討論傳播子就可以替換為delta函數了，這樣也可以直接得到這個圈圖修正振幅的虛部。反過來說就是：如果圈粒子可以同時在殼，那麼振幅就有虛部，反之就沒有。

光學定理還不夠，還要學計算。

光學定理實際上是非相對論量子力學對幺正性要求的必然體現，在非相對論情況下，這意味著粒子出現的概率守恆，也就是物理學在這裡沒有「鬼」，其他應用的方面我理解也不深，先佔個坑，等學完量子場論再過來回答，也希望有高人指教。

左邊少了取虛部，我的理解是光學定理最有意義的是對於propagator來說的，應該是說propagator的虛部是decay rate。