球坐標系的單位矢量與直角坐標系中單位矢量是如何轉換？（以下等式是如何推導？）?
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矢量分析中所暗示的理解:設正交坐標系自變數為q123，
設在過M點的三條坐標曲線分別為Q1，Q2，Q3，M點的單位切矢量分別為e1，e2，e3。
以e1為例:∵沿Q1線運動，只有q1變化，即Q1線只是q1的函數。同時因為Q1是空間曲線，把Q1理解為矢端曲線，則Q1=xi+yj+zk。(xyz是q123的函數，但這裡的q23是固定的)。所以矢端曲線的切矢量=(dx/dq1，dy/dq1，dz/dq1)=把微分符換成偏微分符(這裡把q1理解為時間，會更好理解些)。 最後將其單位化，即除以模H1(拉梅係數)即得到了e1。e2e3同理至於球坐標，套就行了。ps:個人理解是∵q123和xyz是一一對應的∴q1=q1(x，y，z) ，q2，q3同理。則ei=▽qi/丨▽qi丨，即ei是qi(x，y，z)的梯度方向上的單位向量。(注意，這裡得出的ei是xyz的函數，所以要用前面的xyz關於q123的函數替換掉xyz)------------------------------------------------------------------------才發現不是問ei的推導。。。
前面我們得出了e1e2e3在ijk下的表達式。即存在3x3矩陣A，有(e1，e2，e3)=(i，j，k)A∵e123 與ijk都是正交基，∴A是一個正交矩陣，∴記A的轉置=B，則(e1，e2，e3)B=(i，j，k)圓柱坐標系與直角坐標系間的變換
圓柱坐標系的坐標變數為、和，與直角坐標系中的坐標變數、和之間滿足下列變換關係(如圖1.17所示):
(1.52a)
(1.52b)
矢量函數在上述兩種正交坐標系間的變換較為複雜。
若矢量在直角坐標系中為
式中分量、和是坐標、和的標量函數。
同理，矢量在圓柱坐標系中為
式中分量、和是坐標、和的標量函數。
利用標量積的定義可以得到
(1.53)
進一步將標量積展開得
(1.54a)
(1.54b)
及
(1.54c)
只要求出直角坐標系和圓柱坐標系單位矢量的標量積，式(1.54)中矢量分量間的變換就可完全確定。如圖1.17所示，直角坐標系單位矢量、和在、和方向上的投影分別為
(1.55a)
(1.55b)
(1.55c)
式(1.55)的標量積也可用表1-1給出。
表1-1 圓柱坐標系和直角坐標系單位矢量標量積
0
0
0
0
1
式(1.54)和(1.55)是將直角坐標系中矢量變換到圓柱坐標系中的關係式。採用類似的方法，也可得到圓柱坐標系中的矢量變換到直角坐標系中的關係式。採用矩陣形式，也許更便於記憶。
(1.56)
同理可得
(1.57)
【例1-2】試將圓柱坐標系中的矢量變換為直角坐標系中的表達式。
解法1 按題意有
， ，
設矢量在直角坐標系中表示為
其中
根據坐標變換關係，由式(1.52b)最後得
所以
解法2 直接利用矩陣公式(1.56)
同樣得
1.4.2 球坐標系與直角坐標系間的變換類似地，從圖1.12中容易看出，球坐標系的坐標變數、及與直角坐標系的坐標變數、和之間的關係為
(1.58)
和 (1.59)
用類似於從直角坐標繫到圓柱坐標系變換的方法，可將一矢量函數從直角坐標系變換到球坐標系
(1.60)
從圖1.12中，不難求出兩坐標系單位矢量的標量積為
(1.61)
式(1.61)也可由表1-2給出。
表1-2 球坐標系和直角坐標系單位矢量標量積
0
將式(1.61)代入式(1.60)中，可寫出矢量從直角坐標系變換到球坐標系中的表達式，反之，也可寫出從球坐標繫到直角坐標系的變換關係式。
【例1-3】 已知矢量，試將其變換為球坐標系的表達式。
解 按題意
， 和
由式(1.60)得
再根據式(1.61)得
最後利用坐標變換公式(1.59)得
則球坐標系中，矢量表示為
問數學老師。這個涉及到對一般正交坐標系的理解，本來我可以科普一下， 但因為本人最近找不到工作失業，就算了。
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