代數幾何是不是被神化了？

01-28

據我觀察，代數幾何已經越來越世俗化了。時至今日，無論做哪個方向的人要是不學點代數幾何，基本就是不入流的。而且這個所謂適用於所有（上檔次的）數學方向的，最低限度的代數幾何基礎，肯定要遠遠超過Griffhths-Harris的範疇。比如我很少看到一流的拓撲學家（比如Hopkins）不懂代數幾何，A1-homotopy theory, derived category, topos，哪一樣不要用到代數幾何？我感覺他們的代數幾何學得比我們做辛幾何的人好得多。代數幾何中的許多東西跟代數拓撲本來就是融為一體的，而辛幾何發展的驅動力就是拓撲，研究Fukaya category所用的許多有效的工具都來自於拓撲，而證明的許多結論都是拓撲上的refinement。辛幾何本身就是一種拓撲，只不過這種拓撲比較subtle，比較精緻。除了抽象的範疇理論之外，學好singularity theory，例如Grothendiecks simultaneous resolution這些具體的代數幾何也是研究例子必不可少的。所以和代數拓撲相比，辛幾何對抽象和具體的代數幾何工具都有涉獵，但大多數人對二者的掌握都不深入罷了。數論就更不必說了，不學代數幾何，難道要用微積分來做ABC猜想嗎？我覺得年輕人要看清時代的動向，不要誤入歧途。至於幾何分析，且不說許多頂尖人物都致力於研究stability condition和metric/connection的存在性的聯繫，就算是做Kahler-Ricci flow的，也開始關注log terminal singularity。至於表示、非交換幾何等方向，跟代數幾何的聯繫本身就比較明顯。

許多人由於眼界關係，總認為代數幾何就是MMP。事實上，MMP只是代數幾何里很小的一部分，且自從06年之後，其本身的重大進展也並不是很多。所以硬做這個方向的人已經很少了，像許晨陽等也經常用代數幾何工具去研究別的方向的問題。畢竟，數學的精髓是理解不同領域之間的聯繫，而不是死做問題。（貌似那些告訴你數學就是要證明猜想的人從未做出過什麼像樣的工作。）

代數幾何本身是十分廣泛的，影響到每一個上檔次的數學領域。要是哪個領域裡找不出一丁點代數幾何，那也基本不能算是數學了。所以代數幾何不是被神話了，而是被世俗化了。只有那些本科生中基礎較差的小白才會以為代數幾何是那種高高在上的方向。但我個人認為，純代數幾何，或者說古典代數幾何，包括MMP，目前處在走下坡路的狀態。相比之下，辛幾何是上升期，新的工具和理論層出不窮。這也是我2014年以後決心不再到處亂學，以辛幾何為主項的原因。很可惜的是，遍觀中國大陸/香港/新加坡，找不到一個人在嚴肅地研究Fukaya category相關的數學。所以我跟那些做隨大流數學的人不同，回國就做不了任何研究了，所以只要我還在做研究，就不可能回國。

數學的一大特徵是線性化，幾何化和組合化。而代數幾何的研究對象是最簡單的非線性對象了。那麼從應用到其他分支的角度談，代數幾何的對象是自然而然產生的。關鍵在於要判斷需不需要更深的結果而已。即使只考慮代數幾何的內部問題，也能看到很多優美的現象。相比其他結構，代數幾何更加剛性，從而優秀的數學家可以就這類結構寫下簡潔而深刻的結論。例如，當我們考慮變形和模問題時，這種剛性反映為各種模空間與可積動力系統的深刻聯繫，人們現在也只是知道其冰山一角而已。

答：代數幾何學家可以被神化，但代數幾何這門學科並不能。

第一句的解釋見 Miles Reid 在代數幾何大會 Bowdoin 1985 的講義中已經寫的很清楚了。有一些數學家對於另一些數學家就是恐龍和 creepy crawly creatures 的差別。

譯：第負無窮節。在 Bowdoin College 美國數學會暑期研究所是自「恐龍」滅絕以來的第一次代數幾何大會。因為 Mumford, Griffiths, Hironaka 等都沒有參加，各種 creepy crawly (令人毛骨悚然的？)的生物從石頭縫中鑽出來佔領它們在新世界的位置。

至於恐龍們怎麼看 Grothendieck 可以去讀《彷彿來自虛空》或者我之前的回答

代數幾何的幾何直觀？www.zhihu.com

第二句的解釋見 Miles Reid 在他 Undergraduate Algebraic Geometry 的書裡面的 Final Comments 中寫下了他對 Grothendieck 時代的歷史註記。

譯：Grothendieck 時代。從1955至1970年，代數幾何主要由 Serre 以及之後 Grothendieck 和他的學派引領著。首先需要說明的是我們不能低估 Grothendieck 式數學的影響力，儘管就現在來看其中的一部分已不再流行了。Grothendieck 時代是一個大量概念和技巧創新的時代。特別是對於代數概型的系統性研究終於使得代數幾何開始可以直接從拓撲學，同調代數，數論等學科吸收各種進展，再反饋並推動這些學科。Grothendieck 於1970年退休（當時他盡四十齣頭），對於數學來說這個一個巨大的損失。他離開了 IHES 因為此中心有軍事方面的資助。一個代數幾何的實踐者應該要意識到各種強大代數幾何機器都是在這個時代中建立的，當然其中相當多的內容仍然需要寫的更平易近人一點。
另一方面，對於 Grothendieck 的個人崇拜有很大的副作用。很多傾其一生精通 Weil 的代數幾何基礎的數學家感到了這個學科對其的拒絕和羞辱。據我所知最多有一到兩個這樣的數學家最終適應了 Grothendieck 的新語言。一整代的法國學生被某種愚蠢的信仰洗腦了，即任何不能被轉化成某種高端的抽象形式化的問題是不值得被研究的。因此這些學生就不能從數學的自然學習中受益，即從一個小問題開始慢慢延展出去。（我知道有一篇關於三次曲面的算術性質數學博士論文一開始並未被被通過，其原因是「此論文應該在基於局部諾特環拓撲斯的背景下來寫」。這不是一個笑話。）很多學生的野心只被限制於 EGA。只研究範疇論本身（相當難有產出的學科）也是從那時開始，儘管我們不能去為此抱怨 Grothendieck，因為他對範疇論的使用成功解決了很多問題。

代數幾何的潮流此後就變了。我在最近一次法國的會議上提到了這樣的變化，但是得到了一個諷刺的回答「但是 twisted cubic 是一個非常好的 pro-可表函子的例子」。我理解有一些管理法國數學研究基金的數學家正是當年受到這種智力壓迫的學生，因而提交給他們的基金申請項目會被要求儘可能最小化此項目與代數幾何的關係。
除了少數的 Grothendieck 自己的學生可以跟上腳步並生存下來，能夠持續的受益於並且有效的傳播 Grothendieck 的思想的，往往是與 Grothendieck 有一定距離的數學家：比如哈佛學派（Zariski, Mumford, Artin），莫斯科 Shafarevich 學派和日本的交換代數學家。

題主的問題可能表述成「抽象代數幾何是不是在中國被神話了」比較妥當。

對於上述問題，我的觀點是：在中國，抽象代數幾何技術上沒有被神話，但是心理上可能被神話。

讓我站在局外人角度，分享一點長達十年的代數幾何輿論觀察經驗。由於個人局限性，我的觀察角度主要是網路上的代數幾何風。為避免誤解，需要說明，本文主要描述學生心態變化歷程（本科生和研究生等）。

大約是十年前（具體記不清了）當張懷良還是博士數學論壇網友Quillen的時候，他開始在網上力挺代數幾何！網上流傳的兩篇代數幾何文章《代數幾何武功秘籍》和《代數幾何的過去五十年和未來一百年》就是出自此人之手。而那時候，我在學校里也聽說有人自學gtm52，不過當年的T大是開不了代數幾何課的，這與現在不同（畢竟有代數幾何大師L壓陣）。那時候，就我這個外行來看，代數幾何在中國已經有苗頭，但是熱度應該不及幾何分析。

之後代數幾何在中國的熱度體現在拜GTM52上，並引發了討論，印象中主要是水木社區bbs和未明空間bbs。討論中批評聲音不少，估計如果52的作者懂中文的話，能氣個半死。雖然對52的批評聲音很多，但是代數幾何的熱度不減。就我感覺來說，在網上經常看見代數幾何四個大字就是證據。

代數幾何熱度在中國上升，有一篇長文功不可沒，《放佛來自虛空》，講述G的故事。其實，同期也有人翻譯成英文的幾百頁的G的自傳《收穫與播種》（部分），但熱度不及《虛空》。拜讀虛空後，引發了很多本科生想學代數幾何的現象，這些人中大部分甚至連交換代數都未聽說過。

每一個數學時代都有一個主題，比如黎曼時代的主題是Abel函數論，他本人就是靠研究Abel函數論在當時數學界崛起而獲得認可的。按照歷史的行程觀點，當下數學大熱門是代數幾何。

代數幾何是好東西。

僅就通信類而言，下一代通信技術中干擾對齊，天線編碼想要發展是離不開代數幾何的。

比較遺憾的是，國內關於代數幾何的基礎性著作有點少，初學者學起來不那麼友好。

關於神化：

神化20年8月，人吉孫竹博士在廣島的大坑中撿到嬰兒爾朗，廣島上空出現巨大怪獸形狀的影子。（《超人幻想》）

關於代數幾何的神化：

無非就是初入大學的本科生聽說GTM52，EGA很難，閣樓跳迪斯科（Grothendieck）彷彿來自虛空，見誰看代數幾何就驚呼學霸，大佬，膜拜，如此而已。

傳說很難，實際上也不過如此，幾千年來代數的最中心的課題就是解方程，特別是一組多項式給出的方程，代數幾何說穿了也就是從這個出發點深入挖掘，沒什麼神奇的。

神化就是供起來的意思，正如很多土豪買了很多古典名著，展示在書櫥里，卻不會去翻看它。其實就是附庸風雅。真正用這些學問的人是沒有這些思想的。

Grothendieck 有個未盡的夢想，叫做motive, 這個東西可以一些丟番圖逼近的問題，以及高能物理和超弦理論啥的。