已知任意三角形的角平分線長度，求作這個三角形？

01-28

恰好之前研究過一個角平分線問題三角形的角平分線迭代問題？ - 數學 - 知乎（未解決），閱讀過一些文獻，做過一點研究。
我覺得這是一個非常有意思的問題。水平有限，做點微小的工作。
我覺得本問題：

已知任意三角形的角平分線長度，求作這個三角形？

應該分為兩個問題：

1.若給定三個角平分線長度 $h_a,h_b,h_c$ ，所求三角形 $riangle ABC$ 是否確定？（存在且唯一）
2.若三角形 $riangle ABC$ 固定，那麼如何去作圖？
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對於第一個問題，先拋結論：

(結論1)給定三個角平分線長度 $h_a,h_b,h_c$ ，所求三角形 $riangle ABC$ 存在且唯一。

首先呢，若不固定就沒有作圖的意義了，所以存在唯一性非常重要。一篇94年的美國數學月刊的文章The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths簡潔地利用 Brouwer 不動點定理和Lipschitz條件說明了存在唯一性。
另外，對結論1我們可以用另一種等價形式來描述：

對於 $riangle ABC$ 和 $riangle ABC$ ，若其對應角平分線長相等，則 $riangle ABCcong riangle ABC$ 。

文獻A Purely Geometric Proof of the Uniqueness of a Triangle With Prescribed Angle Bisectors給出了純幾何的證明。後來發現好像這篇2016的文章On existence of a triangle with prescribed ...也給出了證明，不過我沒細看，大家可以看看。
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對於第二個問題，由角平分線長定理可以知道
$h_a^2=frac{bc(a+b+c)(b+c-a)}{(b+c)^2}$ ,（*）

另外還有兩個輪換對稱式。注意到能尺規作圖的幾何量至多落在有理數域 $Q$ 的2次擴域中，於是現在面臨兩個問題：
1.是否存在形如 $a=g_1(h_a,h_b,h_c)$ 的解析解？
2.若存在解 $a=g_1(h_a,h_b,h_c)$ ，那麼這個解是否在有理數域 $Q$ 的2次擴域中？
這是一個較難的問題（如何判定一個多項式方程無這樣的解析解？），於是我也交給符號計算神器MATLAB跑一跑：
syms a b c eq1=b*c*(a+b+c)*(b+c-a)./(b+c).^2-H1; eq2=c*a*(b+c+a)*(c+a-b)./(c+a).^2-H2; eq3=a*b*(c+a+b)*(a+b-c)./(a+b).^2-H3; [a,b,c]=solve(eq1,eq2,eq3,a,b,c)
跑了20+分鐘，返回無法計算提示。如果能證明方程組（*）無這樣的解析解，那麼就更加沒有在上述擴域中的解。個人猜想是沒有這樣的解析解的，即一般情況下無法尺規作圖。不過對於一些特殊情況，方程組（*）可以有解析解，且在有理數域 $Q$ 的2次擴域中。

若 $riangle ABC$ 為直角三角形，

不妨設 $a2+b^2=c^2$ ,，那麼化簡方程組（*）得到：
$frac{2a^2c}{(a+c)}=h_b^2, frac{2a^2b^2}{(a+b)^2}=h_c^2,frac{2b^2c}{(b+c)}=h_a^2$ ，令 $h_b^2=x,h_a^2=y,h_c^2=z$ ，
$Rightarrow frac{ax}{2a^2-x}-frac{by}{2b^2-y}=0, frac{2a^2b^2}{(a+b)^2}=z$ ，
上式 $a,b$ 關於 $x,y,z$ 顯然有2次擴域內的解（求根公式消消元即可），或者從MATLAB也可以看到：
syms x y z a b eq1=a*x/(2*a^2-x)-b*y/(2*b^2-y); eq2=2*a^2*b^2/(a+b)^2-z; [a,b]=solve(eq1,eq2,a,b)
結果大概是這樣的：

所以呢，理論上呢，給定「單位長度1」，是可以完成直角三角形情況的作圖的。

若 $riangle ABC$ 為等腰三角形，

不妨設 $a=b$ ，那麼可以輕鬆地推導出：
$4a^2-c^2=4h_c^2,frac{ac^2(2a+c)}{(a+c)^2}=h_a^2$ ，令 $h_c^2=z,h_a^2=y$ ，同樣可以看出 $a,c$ 關於 $x,y$ 的解也是在上述擴域中的，
syms x y a c eq1=4*a^2-c^2-4*x; eq2=a*c^2*(2*a+c)/(a+c)^2-y; [a,b]=solve(eq1,eq2,a,c)
所以呢，理論上呢，給定「單位長度1」，也是可以完成直角三角形情況的作圖的。
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彩蛋：一個類似的作圖問題Conic Construction of a Triangle from the Feet of Its Angle Bisectors
先寫到這裡...

如圖所示，僅僅已知角平分線時，不僅無法確定唯一的張角的大小，同時無法確定底線的傾角。所以，已知一條角平分線。不能確定三角形，但是可以獲得任意大小滿足條件的三角形
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有評論說三條角平分線都給出，我們來算一下看看。
我們先準備幾條定理：

1、角平分線定理
引輔如上，由相似可知：
$frac{BD}{CD} =frac{AB}{AC}\BD=frac{ABcdot BC}{AB+AC}$
2、餘弦定理
$AD^2=AB^2+BD^2-2ABcdot BD cosB\ cosB=frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2ABcdot BC}$
化簡推導得角分線長度公式：
$AD^2=frac{ABcdot AC}{(AB+AC)^2} (AB+AC+BC)(AB+AC-BC)$
由此，我們知道三角形的中線是由三邊長度的關係
在寫下去太長，這裡AB，BC，CA就分別用c，a，b代替

得到一組關係式 (這裡感謝 @dede 提醒，我把和平方寫成平方和了，已修正)
$AD^2=frac{ccdot b}{(c+b)^2} (b+c+a)(b+c-a)\BE^2=frac{acdot c}{(a+c)^2} (c+a+b)(c+a-b)\CF^2=frac{bcdot a}{(b+a)^2} (a+b+c)(a+b-c)$
非常完美的一組輪換對稱式
懶得手算，所以打開matlab搞一下
clear clc syms a b c d e f S1=(c*b)/(c+b)^2*(b+c+a)*(b+c-a)-d^2; S2=(a*c)/(a+c)^2*(c+a+b)*(c+a-b)-e^2; S3=(b*a)/(b+a)^2*(a+b+c)*(a+b-c)-f^2; [a,b,c]=solve(S1,S2,S3,a,b,c)
結果出不來。。。。我等會試試wolfram。。。。
好吧，wolfram結果出來了。。。我覺得這個數據量有點嚇人。
Solve[{b*c/((c+b)^2)*(b+c+a)*(b+c-a)==d^2, a*c/((a+c)^2)*(c+a+b)*(c+a-b)==e^2,a*b/((b+a)^2)*(a+b+c)*(a+b-c)==f^2}, {a, b,c}]
函數是這麼用的。。。輸出結果的話，我覺得你們不會想看，，或者我的推導有什麼錯誤。。你們誰有興趣可以繼續放進軟體試一下。
好像是解析解，，也沒有超越數，解唯一，但是有三次方根，理論上應該不可行。。所以這個不能尺規作圖求解

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