人類為什麼要研究圓錐曲線？

01-28

是先有了橢圓、拋物線，人們才找到可以用平面去截圓錐這個簡潔方法囊括這些東西；還是人們先用平面截圓錐，才需要研究橢圓這些東西。人們又為什麼要研究橢圓？如何發現了橢圓？是先有橢圓的第一定義還是先有橢圓人們才需要研究這個東西的定義？

私底下想過這個問題，忍不住想說一說。這是一個自己腦洞大開的答案，沒有權威出處，歷史上不正確的地方歡迎指出。

問題的關鍵在於我們現在已經對笛卡爾的觀念太習以為常，以致於不能夠想像在沒有笛卡爾的觀念之前人們怎麼來看待幾何。笛卡爾教導我們，你用一組坐標(x_1,.....,x_n)來表示空間中的點，然後選一組以這些坐標為變數的函數（可以是多項式，可以是無窮次可導函數，這些都是我們在笛卡爾之後的理解），它們的公共零點集就給出了一個「幾何圖形」。特別地，在平面上的一個方程，空間中的兩個方程，加一些適當的限制就可以定義出一條「合理」的曲線。曲線還有一種看法是：你取一個參數t,那麼（x(t),y(t))，（x(t),y(t),z(t))在適當的條件下表示了一條合理的平面曲線或者空間曲線。

但是希臘人是不懂這些的，當然在現實世界的直覺教會了他們可能有非常複雜的曲線，可是對於一門數學理論來說，一個東西你如果不知道怎麼給出定義和描述，它在數學上就是不存在的。在現實世界中，你一條繩子隨意變形一下就給出一條曲線，這種事情給你關於曲線的直覺，而且你也覺得你希望了解「曲線」，但是這種直覺不是一個可以對它進行分析的定義。一件事只有給出一個可以對它進行分析和推理的定義之後，它才能成為數學研究的對象。

希臘人怎麼來看曲線呢？直覺告訴你，兩個面相交一般而言會給你一條曲線，如果拿來做交的面是你了解的，那麼你就有可能可以對它們的交線說點什麼。所以他們拿他們那時候知道的面相交來得到曲線。而他們那時候了解的面恐怕不多：平面，錐面，球面，圓柱面，正方形的面（也許還要加幾個），你試著兩兩組合一下，平面和平面這個組合是一條直線，這個是立體幾何了；平面和圓柱面，球面的組合交線基本上包含在平面和錐面的組合裡面了；至於其它的組合交出來的線，（以那時候的水平）你能夠說出來的故事恐怕很少很少。

希臘人還會以其它方式來定義曲線，比方說在輪子上固定一個點，讓這個輪子沿著一條直線勻速直線運動，固定點的軌跡也給出一條曲線，對這個曲線他們也能說一些事情。

所以在希臘人那裡，可能我們今天理解的像(x^4+y^4=1)這種曲線在數學上是不存在的，因為這條曲線沒法以他們的方式給出一個定義。而在他們能夠定義並且進行分析的曲線中，圓錐曲線是最豐富的。

最後，笛卡爾萬歲！

這個屬於中學數學講的邏輯混亂，教材稍微提一句簡單的歷史也不會有這些困惑。按照歷史記載，古希臘人最初為了解決倍立方問題（尺規作圖三大幾何問題之一，不知道可以簡單查找了解一下）而發現了用平面截圓錐的曲線很有用，並開始進行大量研究（至於是怎麼用這種曲線解決倍立方問題，已經沒有記載了，似乎是有個數學家認為如果尺規作圖能做出「圓錐曲線」，那也就能尺規作圖做出倍立方，當然只有一千年後數學家才能完全的證明圓錐曲線無法用尺規做出）。古希臘人研究這些曲線的方法也是從截圓錐這個定義出發，用幾何方法來做的。而橢圓（以及拋物線雙曲線）的其他特殊性質也是在後期逐漸發現的，例如橢圓的點與兩焦點距離之和恆為定值，這個性質後來反過來被當作橢圓的定義之一。而定義圓錐曲線是二次曲線就更晚了，得在有笛卡爾坐標後才談得上。後來又發現圓錐曲線在物理等其他領域有很大用處。所以演變到現在，有些數學家一輩子專門研究圓錐曲線，因為圓錐曲線實在是內容豐富。

至於是否有人在古希臘人之前知道了這些特殊曲線的存在，並且不是用平面截圓錐的方法得到的，這個就沒有人曉得了。。。