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如何感性地理解EM演算法?

作者: milter

原文鏈接:jianshu.com/p/1121509ac

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如果使用基於最大似然估計的模型,模型中存在隱變數,就要用EM演算法做參數估計。個人認為,理解EM演算法背後的idea,遠比看懂它的數學推導重要。idea會讓你有一個直觀的感受,從而明白演算法的合理性,數學推導只是將這種合理性用更加嚴謹的語言表達出來而已。打個比方,一個梨很甜,用數學的語言可以表述為糖分含量90%,但只有親自咬一口,你才能真正感覺到這個梨有多甜,也才能真正理解數學上的90%的糖分究竟是怎麼樣的。如果EM是個梨,本文的目的就是帶領大家咬一口。

01

一個非常簡單的例子

假設現在有兩枚硬幣1和2,,隨機拋擲後正面朝上概率分別為P1,P2。為了估計這兩個概率,做實驗,每次取一枚硬幣,連擲5下,記錄下結果,如下:

硬幣結果統計1正正反正反3正-2反2反反正正反2正-3反1正反反反反1正-4反2正反反正正3正-2反1反正正反反2正-3反

可以很容易地估計出P1和P2,如下:

P1 = (3+1+2)/ 15 = 0.4

P2= (2+3)/10 = 0.5

到這裡,一切似乎很美好,下面我們加大難度。

02

加入隱變數z

還是上面的問題,現在我們抹去每輪投擲時使用的硬幣標記,如下:

硬幣結果統計Unknown正正反正反3正-2反Unknown反反正正反2正-3反Unknown正反反反反1正-4反Unknown正反反正正3正-2反Unknown反正正反反2正-3反

好了,現在我們的目標沒變,還是估計P1和P2,要怎麼做呢?

顯然,此時我們多了一個隱變數z,可以把它認為是一個5維的向量(z1,z2,z3,z4,z5),代表每次投擲時所使用的硬幣,比如z1,就代表第一輪投擲時使用的硬幣是1還是2。但是,這個變數z不知道,就無法去估計P1和P2,所以,我們必須先估計出z,然後才能進一步估計P1和P2。

但要估計z,我們又得知道P1和P2,這樣我們才能用最大似然概率法則去估計z,這不是雞生蛋和蛋生雞的問題嗎,如何破?

答案就是先隨機初始化一個P1和P2,用它來估計z,然後基於z,還是按照最大似然概率法則去估計新的P1和P2,如果新的P1和P2和我們初始化的P1和P2一樣,請問這說明了什麼?(此處思考1分鐘)

這說明我們初始化的P1和P2是一個相當靠譜的估計!

就是說,我們初始化的P1和P2,按照最大似然概率就可以估計出z,然後基於z,按照最大似然概率可以反過來估計出P1和P2,當與我們初始化的P1和P2一樣時,說明是P1和P2很有可能就是真實的值。這裡面包含了兩個交互的最大似然估計。

如果新估計出來的P1和P2和我們初始化的值差別很大,怎麼辦呢?就是繼續用新的P1和P2迭代,直至收斂。

這就是下面的EM初級版。

03

EM初級版

我們不妨這樣,先隨便給P1和P2賦一個值,比如:

P1 = 0.2

P2 = 0.7

然後,我們看看第一輪拋擲最可能是哪個硬幣。

如果是硬幣1,得出3正2反的概率為 0.2*0.2*0.2*0.8*0.8 = 0.00512

如果是硬幣2,得出3正2反的概率為0.7*0.7*0.7*0.3*0.3=0.03087

然後依次求出其他4輪中的相應概率。做成表格如下:

輪數若是硬幣1若是硬幣210.005120.0308720.020480.0132330.081920.0056740.005120.0308750.020480.01323

按照最大似然法則:

第1輪中最有可能的是硬幣2

第2輪中最有可能的是硬幣1

第3輪中最有可能的是硬幣1

第4輪中最有可能的是硬幣2

第5輪中最有可能的是硬幣1

我們就把上面的值作為z的估計值。然後按照最大似然概率法則來估計新的P1和P2。

P1 = (2+1+2)/15 = 0.33

P2=(3+3)/10 = 0.6

設想我們是全知的神,知道每輪拋擲時的硬幣就是如本文第001部分標示的那樣,那麼,P1和P2的最大似然估計就是0.4和0.5(下文中將這兩個值稱為P1和P2的真實值)。那麼對比下我們初始化的P1和P2和新估計出的P1和P2:

初始化的P1估計出的P1真實的P1初始化的P2估計出的P2真實的P20.20.330.40.70.60.5

看到沒?我們估計的P1和P2相比於它們的初始值,更接近它們的真實值了!

可以期待,我們繼續按照上面的思路,用估計出的P1和P2再來估計z,再用z來估計新的P1和P2,反覆迭代下去,就可以最終得到P1 = 0.4,P2=0.5,此時無論怎樣迭代,P1和P2的值都會保持0.4和0.5不變,於是乎,我們就找到了P1和P2的最大似然估計。

這裡有兩個問題:

1、新估計出的P1和P2一定會更接近真實的P1和P2?

答案是:沒錯,一定會更接近真實的P1和P2,數學可以證明,但這超出了本文的主題,請參閱其他書籍或文章。

2、迭代一定會收斂到真實的P1和P2嗎?

答案是:不一定,取決於P1和P2的初始化值,上面我們之所以能收斂到P1和P2,是因為我們幸運地找到了好的初始化值。

04

EM進階版

下面,我們思考下,上面的方法還有沒有改進的餘地?

我們是用最大似然概率法則估計出的z值,然後再用z值按照最大似然概率法則估計新的P1和P2。也就是說,我們使用了一個最可能的z值,而不是所有可能的z值。

如果考慮所有可能的z值,對每一個z值都估計出一個新的P1和P2,將每一個z值概率大小作為權重,將所有新的P1和P2分別加權相加,這樣的P1和P2應該會更好一些。

所有的z值有多少個呢?顯然,有2^5=32種,需要我們進行32次估值??

不需要,我們可以用期望來簡化運算。

輪數若是硬幣1若是硬幣210.005120.0308720.020480.0132330.081920.0056740.005120.0308750.020480.01323

利用上面這個表,我們可以算出每輪拋擲中使用硬幣1或者使用硬幣2的概率。比如第1輪,使用硬幣1的概率是:

0.00512/(0.00512+0.03087)=0.14

使用硬幣2的概率是1-0.14=0.86

依次可以算出其他4輪的概率,如下:

輪數z_i=硬幣1z_i=硬幣210.140.8620.610.3930.940.0640.140.8650.610.39

上表中的右兩列表示期望值。看第一行,0.86表示,從期望的角度看,這輪拋擲使用硬幣2的概率是0.86。相比於前面的方法,我們按照最大似然概率,直接將第1輪估計為用的硬幣2,此時的我們更加謹慎,我們只說,有0.14的概率是硬幣1,有0.86的概率是硬幣2,不再是非此即彼。這樣我們在估計P1或者P2時,就可以用上全部的數據,而不是部分的數據,顯然這樣會更好一些。

這一步,我們實際上是估計出了z的概率分布,這步被稱作E步。

結合下表:

硬幣結果統計Unknown正正反正反3正-2反Unknown反反正正反2正-3反Unknown正反反反反1正-4反Unknown正反反正正3正-2反Unknown反正正反反2正-3反

我們按照期望最大似然概率的法則來估計新的P1和P2:

以P1估計為例,第1輪的3正2反相當於

0.14*3=0.42正

0.14*2=0.28反

依次算出其他四輪,列表如下:

輪數正面反面10.420.2821.221.8330.943.7640.420.2851.221.83總計4.227.98

P1=4.22/(4.22+7.98)=0.35

可以看到,改變了z值的估計方法後,新估計出的P1要更加接近0.4。原因就是我們使用了所有拋擲的數據,而不是之前只使用了部分的數據。

這步中,我們根據E步中求出的z的概率分布,依據最大似然概率法則去估計P1和P2,被稱作M步。

05

總結

以上,我們用一個實際的小例子,來實際演示了EM演算法背後的idea,共性存於個性之中,通過這個例子,我們可以對EM演算法究竟在幹什麼有一個深刻感性的認識,掌握EM演算法的思想精髓。

06

參考資料

pan.baidu.com/s/1i4NfvP

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