一道需要思維逆轉的計量題

01-28

前兩天有本科生問我我一道題。今天為了腦力鍛煉一下，我做了做。因為我以前基本上沒有做過計量的習題，所以感覺這個題蠻有意思的。為了不讓我的知乎太水。所以記錄一下。

這個題是這樣的：

簡單的說，就是求擾動項的方差滿足什麼條件，能讓以下三個估計量是blue（線性、無偏、方差最小）。

第1個顯然是ols估計量，它是blue的條件很容易知道（只要同方差就行）。第2和第3就不同了。乍一看讓我感覺無從下手。

首先必須看到，這三個統計量只要把y的表達式帶入，就可以很容易得到估計的beta和真實beta的關係：

$hat{beta}=frac{sum{beta x_{t}^{2}+sum{x_tu_t}}}{sum{x_{t}^{2}}}=beta +frac{sum{x_tu_t}}{sum{x_{t}^{2}}}$

$hat{beta}=frac{sum{beta x_t+sum{u_t}}}{sum{x_t}}=beta +frac{sum{u_t}}{sum{x_t}}$

$hat{beta}=frac{1}{T}sum{frac{beta x_t+u_t}{x_t}}=beta +frac{1}{T}sum{frac{u_t}{x_t}}$

由於題干對擾動項的假設很好，所以線性和無偏很容易滿足。但是這個最小方差就得想想了。

我忽然想，這是一個本科題，難道不應該想複雜，再仔細看第二問，有一個詞「加權最小二乘估計量」，讓我恍然大悟。

這讓我想起來《嫌疑犯x的獻身》的一句台詞，看似是代數問題，其實是幾何問題。

換句話說，這個題看似是考察blue，其實是考察加權最小二乘法的。

既然如此，不如把思維逆轉過來。

第2和第3，我們不是求什麼時候它們是blue。

而是想，為什麼它們能是blue？

它們能是blue，很顯然是因為ols的估計量不是blue。

而什麼時候ols不是blue呢？根據題乾的假設，只有異方差的時候！

然後我們再接著問，異方差的時候，什麼才是blue呢？

答案是，如果知道方差的形式，那麼加權最小二乘的估計量是blue！

那麼，我們知道方差的形式嗎？哈哈哈，這個題就是讓我們求方差的形式呀！

那麼這個題就簡單了。換一個思路。

首先，我們假設一個方差的形式，從而得到權重，然後根據加權最小二乘法求出blue的統計量。

其次，如果2或者3的統計量是blue，那麼它必須等於我們上邊求出來的那個統計量，這樣那個權重必須讓它們相等，所以我們求出了這個權重。

最後，根據這個權重我們求出了方差的具體形式。

從而我們回答了這個問題：方差是什麼形式是，2和3的統計量是blue？

那麼這就很容易了，我們假設方差是這樣的： $sigma _{t}^{2}=w_{t}^{2}sigma ^2$ ，那麼可以通過同時除以 $w_{t}$ 得到一個新的模型：

$frac{y_t}{w_t}=beta frac{x_t}{w_t}+frac{u_t}{w_t}$

顯然這個模型的ols估計量是 $hat{beta}=beta +frac{sum{frac{x_t}{w_t}frac{u_t}{w_t}}}{sum{left( frac{x_t}{w_t} right) ^2}}$

而2的估計量是 $beta +frac{sum{u_t}}{sum{x_t}}$ ，你非要說它也是blue，我們只能讓 $frac{sum{u_t}}{sum{x_t}}=frac{sum{frac{x_t}{w_t}frac{u_t}{w_t}}}{sum{left( frac{x_t}{w_t} right) ^2}}$ ，很顯然此時的權重滿足 $x_t=w_{t}^{2}$ ，

也就是方差的具體形式為 $sigma _{t}^{2}=w_{t}^{2}sigma ^2=x_tsigma ^2$ 。

按照同樣的邏輯，我們可以知道，如果3是blue，權重必須滿足 $x_t=w_{t}^{2}$ ，那麼方差必須滿足 $sigma _{t}^{2}=w_{t}^{2}sigma ^2=x_{t}^{2}sigma ^2$ 。

這題就這麼做完了。哈哈。

總之，這看似是一個求什麼條件下滿足blue的題，但是不要被帶偏，這其實就是一個簡單的鞏固加權最小二乘法知識的題。

因為我沒有做過計量的題，所以感覺挺新鮮的。整個解題的思路有一種「逆轉」的感覺。不過如果做的多了，都是想都不用想的套路了吧？