第二十五課：M-P廣義逆矩陣

寫到M-P廣義逆矩陣這一部分，整個矩陣課程即將進入尾聲。

昨天矩陣結課了，今天我在圖書館寫這篇文章的時候，腦海中忍不住想起張若虛的《春江花月夜》。人生代代無窮已，江月年年只相似。不知江月待何人，但見長江送流水。一年又一年，三尺講台，不知送走了多少學生。在這裡，我真心想對劉老師說一聲謝謝。

矯情的話說完了，說點不矯情的。M-P廣義逆矩陣。

M-P廣義逆矩陣（Moore-Penrose）矩陣是在自反廣義逆矩陣之上又加了兩個條件形成的矩陣，要求更加苛刻。我們一般用 來表示M-P廣義逆矩陣。

下面，我們就來具體介紹一下：

這四個條件，共同保證了 的唯一性。

該定理給出了 的具體計算方法。

該定理的證明思路很直接，就是驗證定義中寫的四個等式。

該定理的證明思路是通過反證法，假設不唯一，有兩個 ,然後證明這兩個 相等，從而證明唯一性。

在唯一性證明過程中，無論是 還是 都用用到了定義1中的四條性質（或者說是四個等式）。

下面，我們介紹一下 的性質

大家理解記憶這些性質的時候要類比的記憶，不要忘了 是一類特殊的自反廣義逆，我們要對比著線性代數中的矩陣求逆來進行理解。

下面，給出證明：

（1）

由於M-P廣義逆矩陣是一類特殊的自反廣義逆矩陣，顯然是滿足自反性的。矩陣A就是 的自反廣義逆矩陣，又由於M-P廣義逆矩陣的唯一性，可知該性質成立。

（2）

將T換成H，推導類似

（3）

該條性質其實很好記，首先，不要忘記M-P廣義逆矩陣是一種逆矩陣，他的逆矩陣就是等式的右邊。我們可以類比第二十二課：矩陣的單邊逆中的定理1進行類比的記憶。

該條性質的證明我就不寫了。

（4）

（5）

這裡 是指的投影到 的值域上，因為 的值域就是A的值域，也是 的值域，所以可以寫成（5）的形式。

（6）

這個定理5不做要求，不過在下一課： 的計算方法，中要用到該定理進行一些證明，所以先戳在這。