第十四課：Hermite矩陣的性質

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現在開始補充一下之前落下沒有寫的內容，爭取周末之前把矩陣理論的所有筆記全部更新完成。就從這個Hermite矩陣及其分解開始吧。

接下來我們具體介紹本課所講的內容：

實對稱陣是實矩陣中的一類非常重要的矩陣。它在力學、物理學、自動控制理論與工程技術中有著十分廣泛的應用。實對稱矩陣在複數域內稱之為Hermite矩陣。結合實數域內的實對稱矩陣的性質來學習本課所講的Hermite矩陣的內容，應該會很有幫助。

先來介紹Hermite矩陣的定義：

類似於實對稱矩陣，選定酉空間的一組基，Hermite矩陣是在這組基下由內積所產生的矩陣，也是復二次型的係數矩陣。由於正定二次型的應用極為廣泛，所以Hermite矩陣的應用也十分廣泛，他可以用來定義內積和範數，也可以用來刻畫力學中的能量及系統控制中的品質因數，下面我們討論Hermite矩陣的性質。

Hermite矩陣的性質

因為Hermite矩陣可以看成是實數域對稱陣的推廣，對稱陣在二次型中也有廣泛的應用，所以在學習Hermite矩陣的性質的時候，類比線性代數中所學的知識進行學習，效果會更好。

稱f（X）為二次齊次式，簡稱為二次型。A的秩稱為Hermite二次齊次式的秩。

對於正定的Hermite矩陣，還有如下定理：

這些定理對於半正定的Hermite矩陣，也有類似的結論成立。