第十三課：矩陣的譜分解（二）

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這一課還是有點長，我寫的好累啊，分成兩節來寫了。上一部分我們介紹了單純矩陣的譜分解，這裡我們介紹一下正規矩陣的分解。

正規矩陣及其分解

我們先給出正規矩陣的定義：

在實數域裡面，只需要將H改成T就可以了。顯然，對角陣，酉矩陣，Hermite矩陣都是正規陣。正交矩陣、實對稱矩陣和凡是對稱矩陣都是實正規矩陣。但正規矩陣不一定是Hermite矩陣。（正規矩陣不一定具有對稱性）

由正規矩陣的定義我們可以知道，正規矩陣具有n個正交的特徵向量（特徵子空間兩兩正交，維數和等於n）。而單純矩陣具有n個無關的特徵向量。這是正規矩陣和單純矩陣的區別和聯繫吧。

下面我們介紹幾個定理：

該引理實際上說的是與正規矩陣相似的矩陣肯定是正規矩陣。

下面，我們給出該定理的證明：

該引理表達的意思是n階方陣必然和一個上三角矩陣酉相似。

下面我們給出證明：

因為任何方陣A都和Jordan標準形矩陣相似，故存在可逆矩陣P使得 $A=PJP^{-1}$ ，我們在第十一課：矩陣的三角分解中介紹過定理1，由定理1可知， $P=UR_1$ 其中U是酉矩陣， $R_1$ 是正線上三角矩陣。

其中 $R=R_1JR_1^{-1}$ 。上三角矩陣的逆仍然是上三角矩陣，且主對角線上的元素是原矩陣相應主對角線元素的倒數，上三角矩陣的乘積仍然是上三角矩陣且主對角線上的元素原兩個矩陣主對角線上元素的乘積。故R是一個上三角矩陣且主對角線上的元素為A的特徵值。

下面我們給出證明：

書上的證明寫的真好，我默寫一遍吧：

下面我們介紹定理5：

證明如下：

先證必要性：

由A是正規矩陣，故由引理2有 $A=URU^{H}$ ，其中R是一個上三角矩陣且主對角線元素為A的特徵值，U是一個n階酉矩陣。由引理1我們知道，A與R酉相似，故R是正規矩陣。由引理3可知，R是一個對角陣。

證明充分性：

A與一個對角矩陣酉相似，（對角矩陣是正規矩陣）由引理1可知，A是正規矩陣。

下面給出證明：