[MIT十二課]矩陣應用：圖與網路

0、前言

MIT線性代數課程精細筆記[第十一課]筆記見MIT線性代數課程精細筆記[第十一課]，該筆記是連載筆記，本文由坤博所寫，希望對大家有幫助。

一、知識概要

本節主要介紹圖與矩陣之間的關聯，利用矩陣說明圖的特點。這一節與之前幾 節的區別主要在於，前面例子中的矩陣中的元素大都是為了說明性質編造出來的， 而本節中矩陣中的元素都是來源於實際問題，更能體現出我們之前介紹的性質在 實際問題中有什麼作用。

二、圖和關聯矩陣

本節中我們研究的問題都是基於這個與有向圖來研究的。那麼既然是有向圖，我 們不難寫出它的關聯矩陣 A 如下：

可能有一些沒接觸離散數學的人會對關聯矩陣不是很熟悉，我在這裡簡單介 紹下，上面 5*4 矩陣中，每一列代表一個節點，比如：第一列代表結點 1，第二 列代表結點 2..以此類推。

而每一行代表的就是一條邊的走勢，同樣，第一行代表邊 1 第二行代表邊 2..等等。這裡需要注意的是，每一行所代表的邊，體現在 這一行元素上，表現為：該邊以哪一個結點為起點，對應的矩陣中該元素為-1， 而以哪個結點為終點，對應矩陣中該元素為 1。

很好，我們現在從實際問題中抽象出了一個矩陣，接下來我們來研究圖（一） 所代表的實際意義。

由於 x 是各個節點上的電勢，很明顯，x 的解集代表了 b 是 0 時。各點 電勢必須相等。我們接下來考慮，這代表著什麼。

我們都知道，電勢差和電流的形成之間有著直接關係，b= 0，說明我 們求解的情況是各個邊上都沒有電流（或者說電勢差）的情況，而我們最後解得， 各點電勢相等時，邊上電流為 0，符合我們的常識。

（2）b 如果不為 0，那麼我們可以通過特解 + 通解的方式求出不同 b 的 情況下，方程對應的解。代表著不同電勢差情況下，各點電勢的大小。

三、實際應用的擴展

四、學習感悟

這一節與之前聯繫較多，與實際應用聯繫也較大。從一個圖出發，聯繫實際 物理問題，解釋了如何用矩陣闡述歐姆定律以及基爾霍夫定律的。學習過本節之 後，我們才算真正明白了之前學習的各種空間具體到實際問題有什麼作用。

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