隨便學學Ads/CFT【3】

在這個專欄中，你將不可避免的遇到：

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並不冗長的公式推導

越來越短

開始吧。

上回定性的對比了AdS/CFT中的自由度，不知道有沒有成功啟發大家的物理思維。現在我們一起更仔細的看看AdS和CFT的具體含義吧。

先從量子場論的角度切入吧，Conformal Field Theory是在QFT洛倫茲對稱性的基礎上添加標度不變性得到的場論。

標度變化就是「尺子」的刻度的變化，如果尺子刻度變密集，物理量的值自然會按比例變大，反之亦然。這種變化將會按比例影響所有帶相應量綱的物理量。由於QFT的自然單位制中只有一個量綱，也就只有一種標度變換，這種標度變換會同時影響所有帶量綱的物理量，長度、時間、能量、質量等都會以各自的方式同時變化。

如果可以回想起前面提到的重整化群方程和β函數，就可以發現標度變化下重整化群方程中的標度u也會被改變。為了保證標度對稱性，標度變化時整個理論必須不變，只能讓表徵標度依賴性的β函數等於0。換句話說，β函數等於0是與標度不變性等價的描述。

然後讓我們把視角轉向廣義相對論，來看看滿足標度不變性和洛倫茲不變性的帶有額外維的度規有哪些可能的形式。

考慮到這個度規除了額外維之外看起來要像一個閔氏空間，我們可以把形式確定到一個未知函數，再依據度規的標度不變性可以確定這個未知函數的形式，因此我們可以從一個相當一般的形式出發猜出一個確定的度規形式，這個度規就被稱為anti-di Sitter時空。

通過簡單的計算就可以發現AdS空間是滿足愛因斯坦場方程的解。

我們從引力場的作用量開始，略去高階的項並對其求運動方程就可以得到愛因斯坦場方程了。利用它我們可以解出Ricci張量的形式。

同時我們從已知的AdS時空的度規出發也可以解出它的Ricci張量。

兩個式子聯立即可解出宇宙學常數與AdS時空中的未知常數L的關係，這就相當於完全確定了滿足愛因斯坦場方程的AdS時空。

在接下來的內容中，我們主要關心的是3+1維的QFT與4+1維的AdS時空。準確來說，4+1維的AdS時空與3+1維的N=4超對稱規範場論對偶。

以下兩頁是補充的計算細節，可以非常安全的跳過。若有錯誤歡迎指出。

在得到AdS/CFT的具體形式之後，我們就可以更加具體的對比二者的自由度了，這就放到下一次再說吧。

待續。

感謝閱讀。