思維模型No.24|你問我究竟愛你有幾分？決策樹模型給你答案

每天聰明一點點，這是大輝總結的多元思維模型的第24篇。

昨天我們學習了一些概率基本知識，今天就讓它發揮出巨大的威力。在我們對未來一無所知，或者遇到意外情況和不確定狀況時，可以藉助決策樹模型做選擇。在遇到上述情況時，你優雅的拿出筆在紙上畫了幾條線，就知道了怎樣做是最好的。

而那些沒有概率知識和模型的人，會兩手一攤，沒有辦法，或者通過拋硬幣來做出人生中的一些重要決定。今天的內容較長，但也不難理解，你可以拿出筆來邊看邊畫，熟悉這個模型，便於以後應用在自己的工作和生活中。

簡單的決策樹模型還有兩種用途：第一種是讓我們推測小概率事件，通過研究他人的選擇，了解他對世界的看法，或解釋已經發生的事情。第二種是它還可以讓我們更多的了解自己內心的想法，非常有趣，我們都會舉例來說明。

決策樹模型是什麼？

其實很簡單，比如你在逛街，看了某種商品，此時你要做一個選擇，買不買。假如買的回報是5，不買回報是0，很明顯，你會選擇買下它。如下圖：

決策樹的分支就是我們可選擇的事件以及由事件而形成的結果。我們會選擇讓自己回報最大的那個選項。這不難理解，決策樹就是幫助我們在出現意外和不確定事件時，如何做出好的選擇。我們來看一個簡單的例子：

用途1：用決策樹做出更好的選擇

案例一：

假設你周末要去另一個城市跟對象約會，你現在需要買張火車票：

1）你可以買下午三點鐘的車票，每張200元；

2）你離火車站較遠，有40%的概率趕不上這趟三點鐘的車；

3）你還可以買四點鐘的火車，車票為400元，你肯定能坐上這趟車。

那麼，現在問題來了，你究竟要不要花200元買三點鐘的車票呢？

如果你買三點鐘的票，很有可能只花200元就搭上了約會的火車，這中情況當然是最理想。

但需要考慮的是有60%的可能性趕不上這趟車，如果你三點鐘前沒到火車站，不但200元打了水漂，你還得要再買一張400元的四點鐘的票，才能見到日思夢想的那個TA。那究竟買還是不買呢，這是個問題。

用決策樹來分析這個問題，其實非常簡單。我們先畫出樹型：

畫一個小方框，代表事件，從方框中引出兩個分支，一條線是買，一條線是不買，買了後會有兩種結果，我們用圓圈來代表。再從圓圈引出兩條分支，一種是趕不上車，總共要花600（200+400）元才能坐上火車，把花費金額標在分支的末端；還有一種是你趕上了火車，只花200元達成目的。

我們把兩種結果發生的概率也標註在分支線上，第一種趕不上的概率是40%，依據概率公理，趕上的幾率就是1-40%=60%。

已經畫好了決策樹，將可能結果及發生的概率都標在了圖中。見證奇蹟的時刻到了：

很明顯，如果你不買三點鐘的票，直接購買四點鐘的票就需要花400元才坐上火車。如果你買了，有60%的概率是花200元搭上火車；還有40%的幾率是花600塊才能搭上火車。

把這兩種情況加在一起，即200×60%+600×40%=360，也就是說，買了三點鐘票的最後花費是360元，要比直接買四點鐘的400元花費少，因此，最後的結果是你應該買這趟200元的票。

神奇不神奇，刺激不刺激，兩條線就有可能讓你節約一小時和200元。誰說數學沒有用，誰說概率沒有用？

這個例子比較簡單，因為只有一層分支，我們再來看個稍微複雜有兩層分支的（其實也不難）。

案例二：

假設你們學校現在有份5000元的獎學金髮放，這是一筆不小的錢，很多同學都想要。學校規定初始申請人數是200人，你打聽了下，還不夠200人，你還可以申請。

具體申請流程這樣的：需要先寫一份2頁的初始申請，再從初始申請的200人中審核選出10人進入第二輪，這10人還需要寫10頁的最終申請，競爭一份5000元的獎學金。

那你是寫申請還是不寫申請呢？

假設你寫2頁的初始申請需花費20元。因為有了第一次寫的大綱，寫最終的10頁申請時，你只花40元就能搞定。我們把這些信息都列出來方便畫決策樹：

獎金額：5000元

初始申請人：200人

初始申請花費：20元

參與終審人數：10人

10頁最後申請花費：40元

好，下面我們用決策樹模型來解決這個看起來好像有點複雜的問題：

Step1：先將各種事件及結果畫出決策樹。

首先，你可以申請，也可以不申請，我們引出兩個分支表示兩種選擇，如果你申請，也有兩種結果，一種是通過初審，一種是沒有通過初審。假如通過了初審，你此時還需要決定是否參與終審，當你提交最後的10頁終審請求時，你還面對兩種可能，一種是成功，另一種就是失敗。畫出這個決策樹不難，如下圖：

下一步，我們需要知道各分支的回報和概率。

Step2：寫出回報和概率。

如果不申請，那麼你就沒有任何收益，也沒損失什麼，我們將收益寫為0。若提交了初審，一種結果是沒有通過，那麼你就損失了第一次寫申請花的20元，回報是就是負的，我們記作-20。因為申請通過的概率只有10/200,即5%,所以未通過的幾率就是（1-5%），即95%，我們將這兩個概率也填在分支樹上。

另一種結果是你通過了初審，假如此時你放棄了，那麼你的回報還是-20。你不是個半途而廢的人，所以要繼續下去。終審是從10個人裡面選出一個，成功的概率就是10%，失敗的概率是90%，而失敗的回報就是你兩次寫申請花費的成本（20+40）元，共60元，這個回報也是負的，記為-60。

假如你非常幸運，最終成功從10個人中勝出，那麼回報就是總獎金減去你的花費，即5000-60=4940。到這裡，我們有有了各分支的回報和概率，但這還不能讓使我們明確選擇那個，見證奇蹟的時刻第三步來了：

Step3：從樹的最末端開始（最右邊的分支）反向求解。

我們從最末端開始分析，最末端分支計算得出：

4940×10%+（-60）×90%

=494-54

=440

從最末端分析，顯然應該寫最終的10頁申請，為了看上去更為清晰簡潔，將決策樹做個簡化。如下圖：

不要停，繼續向前，初始申請的回報現在就很容易的算出來：

440×5%+（-20）×95%

=22-19

=3

這個數值3就是你寫申請的回報，是正值，雖然不大，但還是要比不申請強。如果你是理性的，你應該去申請這5000元的獎學金。

你還可以考慮一下，如果學校允許初始申請人數是300或400人時，你申請的回報還是正的嗎？有興趣的可以用決策樹來計算一下。

上面兩個例子中我們用決策樹分析了一件事值不值得去做。決策樹還可以幫助我們發現他人認為某件事發生的可能性。

2.用決策樹推斷概率：

假如現在有位朋友告訴你，有個非常棒的投資機會，只需要投入2000元，就能獲得50000元的收益，他已經投了，鼓勵你也投。你對這個投資興趣不大，但對你朋友能夠有多大幾率收回成本很有興趣。

決策樹能幫你輕鬆的解決這個疑問。假設投2000後，能獲得50000元收益的概率為P，那麼不能獲得的概率就是1-P，畫出決策樹，並將有關數據標在上面，如下圖：

簡單計算一下，投資的回報是：

50000P+（-2000）（1-P）

=52000P-2000

既然你的朋友投資了，說明他期望的收益為正，即52000P-2000 > 0，簡化為 52P>2，即P>2/52，約為4%的概率，即他期望的投入2000元收回50000的幾率大於4%。

這就是我們可以從他人的決策中來推斷他的想法，你的朋友認為這筆投資成功的幾率超過4%（他可能也沒有算），不然他也就不會投錢進去了。我們發現決策樹很神奇，即使我們不知道真正的概率，但可以從他人的行動中，推測出他對這個概率的期望。

我們從決策樹中可以推測出可能的回報幾率，還可以推測出你自己認為的回報。非常有意思，來看一個例子。

3.由決策樹推斷回報

假如你一個月前預定了張回家看望父母的機票，在起飛的早上，天氣很惡劣，你跟航空公司聯繫，得知你買的這趟航班有1/3的幾率可以起飛。那你現在去不去機場呢？

如果你不去機場，我們用決策樹就能推斷出你自己有多想回家（比天橋算卦的准很多）。

假設你認為回家看望父母的價值是V，去機場的花費為c。我們畫出決策樹：

那麼能得出去機場的預期收益為：

（V-c）1/3+(-c)2/3

=V/3-c

由於你沒有去機場，所以等式應是 V/3-c < 0,得出V<3c，也就是說你認為看望父母的價值小於去機場支出的3倍，這說明你沒有那麼想回家。

假如你冒著惡劣的天氣去了機場，那麼就是V>3c，這個不等式還意味著如果你在去機場路上花的越多，說明你越想回家，越想見到父母。當然，感情不能單純用物質去衡量，但這提供了一個探究自己內心真實想法的思路。

———今日小結———

決策樹分析的三步：

第一步畫出決策樹，

第二步分析各項的概率和收益支出，

第三步反向求解。

決策樹的三個作用：做出更好決策、推斷事件發生的幾率、推斷回報大小。

今天的模型來自coursera 網站的thinking model。

文章首發與公眾號：行為設計學會（actiondesign）

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