第三課：正交投影

冪等矩陣

承接上一節課我們所講的冪等矩陣，我們具體具體來討論一下該矩陣所具有的的性質

我們這裡首先介紹一下 ,他的性質可以與轉置相類比。

我們接下來對值域和核做進一步介紹：

值域

實質表示的是T的原象在A矩陣作用下構成的坐標稱之為R(A)。R(T)與R(A)的關係是：R(T)中所有元素的坐標的集合為R(A)。

N(A)（null 零空間）同理，它表示的是

他實際上是Ax=0的解空間，取個名稱稱之為核。

A是投影的矩陣，對應著 有 。若稱T是沿著N(T)到R(T)上的投影，對應的稱A是沿著N(A)到R(A)上的投影。

如圖所示，關於冪等矩陣有6條性質，第一條性質較為簡單，我們略去不證，從第二條開始：

（2）：

關於A一定可以對角化的證明如下：

（3）

我們由性質（2）可知，A的特徵值非0即1，又因為A相似於一個對角矩陣，所以A與對角矩陣的秩相同。所以顯然，矩陣A的特徵值的和與其秩相同。即 rank(A)=tr(A)

（5）

第五條性質說的是如果 屬於R(A)的值域，那麼投影不變。投影多少次效果都是一樣的。這個性質是可以互推的。

（6）

這條性質表達的意思是 的值域是 的核， 的值域是 的核。該性質證明如下：

正交投影

所謂正交投影，就是在直和的基礎上，增加了正交的關係。

關於正交投影我們有如下性質：

事實上，這裡 是實對稱矩陣在複數領域的一個推廣。我們可以將A看成是複數領域的實對稱矩陣。

對於正交投影，當然我們也滿足

該定理證明如下而：

關於Ay=y，我們還可以用定理6的性質5加以理解。根據性質5，因為 ，所以就有Ay=y