Phase-Locked Loops 的思考（二）

01-28

大家好，我又復活了。上個月有個tapeout，本來早早做完了，等著混吃混日子了。結果連改三大版，我屮艸……簡直想掀桌啊！

先不廢話了，我們這次主要看一下PLL環路的一些基本問題。

先來看一下PLL的經典結構：

在Fig.1.中顯示了一個基礎的PLL結構框圖，它是一個簡單的反饋系統。這裡為了簡化起見，省略了分頻器。Fin(t)是從外界輸入的參考頻率信號，Ffeedback(t)是從VCO反饋回來的頻率信號，而Fout(t)則是最終輸出的頻率。這個反饋系統主要包含了以下三個部分：

Phase detector: 檢測input frequency和feedback frequency的相位差。
Loop filter: 通常是low pass的filter，用來穩定反饋系統和平穩控制信號。
VCO: 由電壓控制的振蕩器，它的輸出頻率可以看做是輸入電壓的函數。

這裡需要用到一點自控的知識，現在我們來看一下經過拉普拉斯變換後的系統：

在Fig.2中，我們採用頻域的角度來看整個反饋系統，輸入和反饋信號變為相位，Loop Filter和VCO的傳送函數已經表示在框圖中（這裡我們假設PD的增益為1），由此，可以得到此PLL的閉環傳輸函數為：

$H(s)=frac{K_{VCO}}{frac{s^2}{omega_{LPF}}+s+K_{VCO}}$

各位童鞋可以自己回去算一下哈。如果將其歸一化成二階諧振方程的形式：

$H(s) = frac{omega_n^2}{s^2+2zeta omega _ns+omega _n^2}$

由以上兩個公式可以得到， $omega_n=sqrt{omega_{LPF}K_{VCO}}$ $zeta=frac{1}{2}sqrt{frac{omega_{LPF}}{K_{VCO}}}$ 。

根據自控的諧振理論，前者被稱為自然頻率（Natural Frequency），而後者被稱為阻尼係數（Damping Factor）。

其中Natural Frequency是指一個系統在沒有外界干擾或是阻尼的情況下，最終會達到的頻率。對於PLL來說，Natural Frequency的選擇會影響其環路的穩定性，而且與鎖定時間和信道隨機相位雜訊也有一定的關係。一般來說，從系統穩定的角度看，Natural Frequency< ~1/15 reference frequency（input）。Natural Frequency 越大，環路系統的鎖定時間會越短。

而Damping factor則是描述該系統受到擾動後，振動衰減的情況。Damping factor越小，即表明系統的衰減越小。Fig.3. 中顯示了二階系統中不同阻尼係數振動的情況。Damping factor主要和Phase tracking的關係較為密切。

Fig.1.中展示的PLL一般被稱為Type I 型，主要是因為在LPF中，採用了簡單的一階低通濾波器。而我們一般常見的是Charge Pump PLL，也被稱之為Type II。其實總體看來，兩者的結構基本類似，只是在環路濾波器中有所不同，如Fig.4.所示。這裡我就不具體算它的傳輸函數了，值得說明的是，在Type II的傳輸函數中，有一個S在分子上，也就是說，會有一個零點存在於該環路里。

這裡留給大家一個問題去思考，為什麼要有這個零點（zero）？

隨著CMOS技術的不斷發展，現在人們對analog越來越鄙視...T_T。於是乎，Digial PLL也隨之誕生。一個second order DPLL的模塊圖如Fig.5.所示，其中VCO變為DCO(Digitally controlled oscillator)，其實就是數字信號控制的振蕩器。

在這裡，我們採用Z變換來分析離散信號，閉環傳輸函數可寫成：

$H(z)=frac{theta_{feedback}(z)}{theta_{in}(z)}=frac{H_{LF}(z)H_{DCO}(z)z^{-1}}{1+H_{LF}(z)H_{DCO}(z)z^{-1}}$

同理，由傳輸函數，我們也可以得到Natural Frequency和Damping Factor，在此不再贅述。不過作者君希望呢，我們不光能會算這些看起來很繁瑣的公式，還應該思考一下隱藏在這些公式背後的物理意義。這些參數有什麼意義？為什麼要用這些參數來表示PLL的環路特性？應該如何optimize？就如同王者榮耀中的三大未解之謎一樣：我在哪？誰在打我？我又在打誰？

———————————————————————————————————————

原創聲明：本文為原創，未經許可，嚴禁轉載。如需轉載，請聯繫作者。

微信公眾號：analogIC_gossip