6、用「幾何觀」看不確定性
「As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality.」
「當數學論及現實的時候，它們不確定；當數學確定時，它們不涉及現實」
-- 愛因斯坦
現在，我來問一個問題，一個系統的狀態是相空間中的一個點，那麼，對於一個不確定的狀態，或者說一個「大概」的狀態，怎麼表示？
這其實是一個很關鍵的問題：我們對任何一個系統的觀察都是有精度的，而不可能做到100%準確。根據我們的觀察精度不同，我們就只能在一定的範圍內模糊地認知一個系統。因而，我們所認知的系統狀態也不是一個精確的狀態，而是一片模糊的範圍。
比如說，我們用一個±1毫米精度的刻度尺測量一個粒子的位置，那麼我們對這個位置的測量誤差就會在±1mm之間。當我們得到一個粒子的位置為278.0mm的時候，我們並不確定這個粒子的真正確切的位置，而其實我們真正知道的是，我們有100%的信心確知這個粒子的位置位於277~279之間的某處，但是在這之間位置到底在哪裡？我們並不能完全確定，因為我們最後一位小數是估讀的。
例如，我們進行了100次獨立的測量，每次測量的結果會有所不同，它的一個可能的分布大致如下：
我們可以根據這個測量，得知粒子所處的位置的概率。這個圖示，粒子在278mm這個位置是具有最大概率的。但是，在[277, 279]這個區間中，每一點都是有可能的，區別只是可能性大小不同而已。
同理，對於一個系統，當我們對它進行測量，得到一個它狀態的結果，也有同樣的不確定性。當我們說，「系統的狀態為A」的時候，其實有很多隱含的意思並沒有說出來。假使我們測量的精度為a，那麼，「系統的狀態為A」的嚴格含義其實是：「系統的狀態在A-a與A+a之間的某處」。
我們已經知道，系統的每一個確定狀態，對應著一個確定的相點。那麼，這樣的一個模糊狀態，對應著什麼呢？是「一團」模糊的點。而一個系統模糊的變化歷程，對應的就是一條模糊的曲線。什麼是模糊的點，什麼又是模糊的曲線呢？
直觀來講，你可以想像一幅畫，裡面的每一條線條，都是用非常細的鉛筆畫成的，那麼這個圖形，就看上去非常銳利和清晰。如果每條線都是用很粗的鉛筆畫成，那麼它就會顯得很模糊。在用幾何觀考慮動力學的時候，也是這樣符合直覺的，一個細小的點，一條銳利的線，表示的就是很確定的狀態和它的變化，而一個很粗的點，和一條很粗的線，表示的就是不確定的狀態和它的變化。下面我來具體說明一下：
你可以想像一下，對某一個系統，我們對它的狀態進行多次測量，每次測量都是一個確定的結果，我們把這個結果對應的狀態點標記在相空間裡面。由於測量的誤差，每次測量的結果都會有一個小小的偏差，因而，每一次我們得到的狀態點的位置都會有所偏移。如果我們忘掉以前測量的結果，繼續不停地做出測量，然後把每次的狀態點都標記在相空間裡面。我們就可以得到一個很多個點在空間中分布的圖，如下圖左邊，是一個300次測量點放在一起的圖形。這些點究竟哪一個才是系統「真實」的狀態呢？我們是不可能知道的，因為每個點都是一次測量的結果，而我們每一個測量結果都不可能做到完全「準確」。我們只能推測，這些點鐘的哪一個點更可能是真實的狀態。很容易理解，空間中出現的點越密的地方，就更加可能是這個系統的「真實」狀態，而出現的點越稀，則可能性就越低。還記得我們前面討論的拋硬幣嗎？當我們做出很多次測量時，測量結果的「稀疏」和「緻密」程度，就體現出真實狀態出現的概率大小。所以，我們根據這300次測量，我們可以預期，這個系統的真實狀態出現在哪裡，以及出現在這個地方的概率是多大（如下圖）。
在上面的例子中，這個系統的真實狀態在一個區域的中間某處，越靠近中心的位置，可能性越大，越靠近邊緣，可能性越低。系統的狀態已經不是一個點，而是一團「雲」。「雲團」所覆蓋的體積，就是系統狀態可能出現的範圍。「雲團」越稠密的地方，系統狀態在此處的可能性越大，反之越小。我們可以把這團「雲」叫做「概率雲」。
形象一點，你可以把每一個確定的點想想成為一個削尖了的鉛筆畫成的點，而把這團模糊的雲想像成為一個「粗鉛筆」畫出來的點，或者是宣紙上氤開來的一個墨點。這個「墨點」所覆蓋的範圍，就是系統狀態可能的取值範圍。這個系統所有可能出現的狀態中，每一個狀態對應一個相點，而這些相點的集合（點集），就是這個墨點。在物理中，我們把這個墨點形象地稱之為「粗粒」。相對於「粗粒」，我們把一個確定的狀態點叫做「細粒」。
所以我說，理想的一個確定狀態是一個點，但是，現實中我們所能辨識的狀態，是一個粗粒。
一個粗粒包括了所有可能的系統狀態，我們只知道系統的狀態在這個粗粒當中，卻不知道在這個粗粒中的哪一個部位。因而它是不確定的，我們的精度越高，我們就可以把這個可能的範圍縮得更小，因而就得到一個更小的粗粒。反之，精度越低，我們就得到一個更大的粗粒。粗粒的體積叫做「相體積」。相體積的大小，就說明了系統狀態的確定性。體積越小，確定性越高。
用一個粗粒，來表示一個系統的可能狀態分布，就會給我們帶來一些新的問題。與細粒相比，粗粒有很多新的性質：
- 細粒是一個點，沒有大小，而粗粒是一個區域，有大小和體積；
- 細粒沒有形狀，而粗粒有形狀；
- 細粒是一個確定狀態，而粗粒是無限多個相互靠近的狀態的集合。
那麼，這裡我們來考慮一個問題，我們對一個粗粒，怎麼來對它未來的演化做出預言？
既然粗粒是無數個狀態點的集合，我們就需要考慮所有這些點未來的演化。每個點代表了這個系統的一種可能狀態，我們必須要針對每一個初始狀態來計算它的未來演化軌跡。這樣這些軌跡中必然有一條是「真實」的演化軌跡。我們把粗粒用集合的形式表示：
粗粒={狀態點1，狀態點2，狀態點3，……}（無窮多個狀態點）[1]
那麼，粗粒的演化，就是每一個狀態點演化的集合。也就是說，在相空間中，所有這些相點都在移動，那麼這個粗粒表現出來的就是這些相點的「組團」移動。由於每個相點移動的方向和速度會有所不同，表現出來的，就是這個粗粒在平移的過程中，還會伴隨著不斷的形變（拉伸、壓縮、扭曲、等等等等）。關於粗粒在相空間中的移動過程，你可以想想成為一滴油在水中的移動過程：油滴是由內部的無數個油分子組成，每一個分子自身都在發生移動，它們的「組團」移動，就構成了油滴的整體移動。
一個自然而然的想法就是：既然一個確定的系統狀態演化軌跡是由狀態點「點動成線」得到的，那麼，一個以粗粒表示的系統狀態的演化，就是「粗點動成粗線」。或者說，「粒動成繩」。
這裡，我用了「繩」來比擬一個粗粒的演化軌跡。「線」和「繩」有何區別呢？與細粒和粗粒的區別相似，「線」「繩」的區別有：
- 線沒有粗線，而繩有粗細和也有截面積；
- 線的沒有形狀，而繩有形狀（圓繩、扁繩等等）；
- 繩是無數多條線相互編製在一起形成的「線簇」。
我們知道，一個粗粒中包含了無數個狀態點，而從每個狀態點出發，未來都會有一條唯一確定的演化軌跡線，這些線互相絕不相交，也不會分叉。這些軌跡線聚集在一起，就是我們所說的「繩」（線簇）。
假如說我們現在要預測一個系統的未來軌跡。對系統的現在狀態，我們只能在粗粒的範圍內辨識，而系統的真實狀態隱藏在這些狀態點當中，超出了我們的辨識範圍。因而對系統的未來預測，我們也不知道這條「繩子」中的哪一條線會是系統真實的演化軌跡，我們就只能用這條繩子的走向來大致知道系統真正軌跡線的走向。
這裡我們必須知道的是，我們用一個粗粒來描述系統的狀態，它的含義是，這個粗粒包含了所有的系統可能狀態，而我們不能確切知道這個狀態在哪裡；但這並不是說系統狀態本身在相空間中就是瀰漫開來的一團（這意味著一個系統同時具有多種狀態或具有不確定的狀態！這在經典物理圖景中顯然不可能）。因此，當考慮到我們對系統認知的不確定性時，它的演化不再用相點和軌跡來描述，而是用粗粒和軌跡簇來描述了。這不表示系統的狀態本身不確定，也不表示系統的未來是不確定的。事實上，從每一個確定的狀態出發，都有一個確定的未來。系統的狀態是粗粒中的某一點，系統演化的軌跡是軌跡簇中的某一條。至於在哪一點？那一條？抱歉，我們老眼昏花，只知道它存在，但不知道它在哪兒。
比如說，相空間中的兩個點，分別代表狀態1，和狀態1』。這兩點非常靠近，但是在我們看來是不可辨的，它們之間的區別超出了我們的觀察精度。由於觀察精度所限，我們「誤以為」，它們的狀態是相同的，即使有所不同，也不是我們所能覺察到的。這兩個狀態演化歷程，從1和1』出發，必定也會有所不同。由於兩者十分接近，我們姑且認為，它們的軌跡應該會保持接近的狀態（如下圖，前者演化一段時間後變為2，後者變為2』）。而這兩條相互靠近的軌跡線，也是我們無法區分的。
那麼，在初始點1附近的一個粗粒中的所有點，都與1』一樣，它們與1的區別都超出了我們的辨識能力。同理，這些點中每一點出發的演化軌跡，我們也就無法區分。這些點匯合成的線簇，就是我前面說的那條「繩子」，如下圖1所示。我們只知道真實的軌跡（類比於編成繩子的一條纖維）在繩子當中，但是我們無從知道它在繩子中的那個地方。由於我們的解析度太低，我們只能看到這一整條繩子，而編織成這條繩子的每一條纖維，我們看不到。在我們的肉眼凡胎下，我們分不清這條繩子的精細結構，我們覺得，這條繩子的走向，就是系統軌跡的走向。
這條繩子有多粗？這是由我們的觀察精度所決定。我們的精度越高，我們能夠分辨的繩子就越細。我們可以跟蹤大概的軌跡，但是我們永遠不能精確跟蹤到那一條「真實的」精確軌跡，只能不斷逼近它。
到此為止，我們的感覺仍然良好：一條繩子的演化，和一條線的演化，似乎也沒啥特別不同，不過是一條粗一點的線而已嘛。其餘都一樣！
但是，這裡有很多複雜性我們還沒有看到。最重要的，與狀態點相比，粗粒在動的同時，自己也會發生形變：他可能會膨脹、縮小、扭曲等。同時，與軌跡線相比，「繩子」也就會很不一樣，它可能一會兒圓，一會兒扁，等等。
考慮這樣一種情況，我們想像一下，假如一根繩子散掉了，然後它的每一根纖維雜亂地散開，那麼，我們再來看這條繩子，它是分叉的。由於我們的解析度所限，我們分不清繩子和線，所有我們就把「繩子」的分叉誤以為是「線」分叉了。而軌跡線分叉意味著什麼？就是系統的未來面臨著不同的選擇，它的未來不再是確定的了！
下圖1表示了這樣一種情況，它發生系統的走向相對於初始位置極端敏感的情況下（在這種情況下，兩個相距很近的相點，也會演化出完全分離的軌跡）。系統從點1開始演化，由於我們的觀察精度，我們只能分辨出包含了這個點的一個範圍，它包括了無數種可能。當系統向2演化的時候，在我們解析度所能鎖定的初始範圍之中，三個不同的起點，它們相鄰非常近，只是略微偏離了一點點，以至於我們誤以為它們是同一個點。但是它的軌跡可能就走向了2、2』或2」。它向2，2』，2」這三個方向的演化都是確定的軌跡，但是並且沿著1向5演化的整個過程中，中間任意一點都有這樣的性質，即它旁邊非常接近的一點會走向完全不同的道路。雖然在整個過程中，每一個軌道都是唯一的，沒有任何分叉，但是由於我們精度的有限性，我們就覺得系統在不停地分叉分叉，系統的未來面臨著無數種選擇，因而絕難確定系統的走向。
這看起來非常像我們前面講到的非決定論演化方式（圖2）。除非我們有無限精度，否則，圖1就與圖2的表現非常類似：我們無法確定它的未來走向。區別就是前者是決定論規則下的演化，而後者是非決定論規則下的演化。這裡就出現了一種決定論規則所確定的，但是表現出一種貌似隨機的行為。
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專欄：魔鬼眼中的自然界
[1] 事實上，在考慮這個粗粒的演化時，我們是在同時考慮無數個獨立的系統。粗粒中的每個相點定義了其中的一個確定的系統。而對這其中的每一個確定的系統，我們就可以根據動力學方程方便地做出計算和預言。
這些系統並不真實存在，而是我們為了理論出來的方便想像出來的。所有這些系統的集合，被稱作「系綜」。此時你並沒有必要深究，所以我只做一下說明。
一個系統的狀態對應於相空間中的一點，相應地，與粗粒相對應的，是系綜。
系綜是統計力學中的最核心概念之一。
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