【雜談】數理方法兩則

01-28

回憶起去年吳崇試老師給我們教數學物理方法的時候，排課全部是早上，周一、周三、周五大清早。結果我一上課就想睡覺，還曾經被吳老點名叫起來過。但是吳老師的課講的真的很好，給我們回答也很耐心。

考試在12月31號，我記得12月30號還和那個姑娘一起複習了一天，那天我真的很高興，真是段好時光，雖然她已經不理我很久了，她要去別的地方交換。

今年吳老師離開交大回北京了，走之前我還去送他。我向他感嘆，我們的數理方法學的實在是太爛了，他老人家意味深長的笑了笑。

最近偶爾在看看量子力學的書，我這個有個癖好，是方程一定要自己經手去算，於是乎我發現我的數理能力已經退化到高中了，無奈，翻書複習。

複習之餘，摘錄兩則自以為有用的玩意，以饗讀者。

一、二階線性常微分方程的不變式

我們學了那麼多的方程，什麼Legendre方程、Bessel方程、有些地方還會講到所謂的Fuchs型方程的有關理論，但是實戰中總是不可能就是這個方程放到那套公式，把我們得到的方程化成已知形式的常微分方程是很重要的。

為了找到兩個方程之間的因變數替換，最好的就是把它們都化成不含一階導數的形式。

考慮方程 $dfrac{d^2 y}{d x^2}+p(x)dfrac{d y}{d x}+q(x)y(x)=0$ ;

做變換 $y(x)=f(x)w(x)$ ,則

$dfrac{dy}{dx}=f(x)w(x)+f(x)w(x)$ ;

$dfrac{d ^2y}{dx^2}=f(x)w(x)+2f(x)w(x)+f(x)w(x)$ ;

帶入原方程，若要有一階導為零，則必有

$2f(x)+p(x)f(x)=0$ ;

$f(x)=exp {-dfrac{1}{2} int^{x} p( xi ) d xi }$ ;

則原方程化為 $w(x)+C(x)w(x)=0$ ；

$C(x)=q(x)-dfrac{1}{2}p(x)-dfrac{1}{4}p^2(x)$

這就稱為二階線性常微分方程的不變式。

如果兩個方程

$dfrac{d^2 y_1}{d x^2}+p_1(x)dfrac{d y_1}{d x}+q_1(x)y_1(x)=0$

$dfrac{d^2 y_2}{d x^2}+p_2(x)dfrac{d y_2}{d x}+q_2(x)y_2(x)=0$

具有相同的不變式，那麼可以做變數替換

$w_1(x)exp {dfrac{1}{2} int^{x} p_1( xi ) d xi }=w_2(x)exp {dfrac{1}{2} int^{x} p_2( xi ) d xi }$

典型的應用就是在氫原子Schr?dinger方程的解中，手頭的XXX《現代量子力學基礎》那個漸近方法把我算的呦，此處突然想起的我的曾謹言和Griffiths被那個姑娘帶走了（那兩本書是我的量子力學啟蒙教程）

解氫原子Schr?dinger方程的時候，分解完角動量平方運算元後，徑向的本徵值方程就是

$dfrac{1}{r^2}dfrac{d}{dr}(r^2 dfrac{dR}{dr})+[dfrac{2mu E}{hbar^2}+dfrac{2mu}{hbar^2}dfrac{e^2}{4pi varepsilon_0}dfrac{1}{r}-dfrac{l(l+1)}{r^2}]R=0$ ;

不變式 $C(r)=dfrac{2mu E}{hbar^2}+dfrac{2mu}{hbar^2}dfrac{e^2}{4pi varepsilon_0}dfrac{1}{r}-dfrac{l(l+1)}{r^2}$

引入 $z=kappa r$ ,

原方程化為 $dfrac{d^2R}{dz^2}+dfrac{2}{z}dfrac{dR}{dz}+[dfrac{2mu E}{hbar^2 kappa^2}+dfrac{k }{z}-dfrac{l(l+1)}{z^2}]R=0$

不變式重新寫成 $C(z)=dfrac{2mu E}{hbar^2 kappa^2}+dfrac{k }{z}-dfrac{l(l+1)}{z^2}$ , $k=dfrac{2}{kappa a_0}$ , $a_0=dfrac{4 pi varepsilon_0 hbar^2}{mu e^2}$ (Bohr半徑)，

這個形式就和合流超幾何方程 $zdfrac{d^2w}{dz^2}+(gamma-z)dfrac{dw}{dz}-alpha w(z)=0$ 的不變式很類似了

合流超幾何方程的非正則奇點解是 $w(z)=z^{1-gamma}F(alpha-gamma+1;2-gamma;z)$ ;

利用變數替換法

觀察 $p_1(z)=dfrac{2}{z}$

則有 $R(r)exp{ int^z dfrac{dxi}{xi}}=w(z)exp{ dfrac{1}{2}int^z (dfrac{gamma}{xi}-1)dxi}$

即 $R(r)=Ae^{-kappa r /2}r^lF(l-k+1;2l+2;kappa r)$

為了使其為截斷多項式，必有 $k$ 取整數，也就是所謂的主量子數，從而我們得到徑向的函數

$R_{nl}=Ae^{- r /(na_0)}r^lF(-n+l+1;2l+2;dfrac{2r}{na_0})$

值得一提，後面那玩意就是所謂的Laguerre多項式，即所謂角向Legendre、徑向Laguerre，Laguerre多項式還與Bessel多項式有著緊密的關係，所以我也見過用Bessel多項式算氫原子的。

於是我們就求的氫原子電子波函數 $psi(r,theta,varphi)=AR_{nl}(r)Y_{lm}(theta,varphi)$

二、Basel 問題和偶數階Zeta函數

這個緣起於有個叫『想考物試的新生「的學妹問我Basel 問題的解答，她問的是Euler的解法，我本來沒在意，結果第二天算量子力學的題的時候居然用到了4階的Zeta函數，於是我算了一下，順便寫一下

註：Basel問題指 $sum^{infty}_{n=1} dfrac{1}{n^2}=1+dfrac{1}{2^2}+dfrac{1}{3^2}+dots$

Zeta函數值 $zeta(n;s)=sum^{infty}_{n=1} dfrac{1}{n^s}=1+dfrac{1}{2^s}+dfrac{1}{3^s}+dots$

引理1:

$oint_{C_N}G(z)f(z)dz=2pi i[{sum^N_{n=-N}f(n)+sum_{res{f(x)}}} res[G(z)f(z)]]$

引理2:

$N to infty$ , $oint_{C_N}pi cotpi z f(z) dz to 0$

我們選個方形的圍道

對於偶數階Zeta函數，設其係數為 $2k$ ，

則由前引理1、2知

$oint_{C_N} dfrac{pi cot pi z}{z^{2k}}=2pi i sum^{N}_{n=-N}res{dfrac{pi cot pi z}{z^{2k}}}_{z=n}=0$

$z=0$ 是 $2k-1$ 階奇點，它就只出現一次，其他的 $z=n$ 不是奇點，我們可以改寫成

$2sum^{N}_{n=1}dfrac{1}{n^{2s}}=2 sum^{N}_{n=1}res{dfrac{pi cot pi z}{z^{2k}}}_{z=n}=-res{dfrac{pi cot pi z}{z^{2k}}}_{z=0}$

$sum^{N}_{n=1}dfrac{1}{n^{2s}}=-dfrac{1}{2}res{dfrac{pi cot pi z}{z^{2k}}}_{z=0}$

利用 $cot pi z =dfrac{1}{pi z}-dfrac{1}{3}pi z-dfrac{1}{45}(pi z)^3-dfrac{2}{945}(pi z)^5-dots$ （物理上不講究可以利用 $sin(z)$ 、 $cos(z)$ 直接級數乘除不用證明各種數學上的玩意）

第 $k$ 項 $z$ 的正冪次的係數就是 $res{dfrac{pi cot pi z}{z^{2k}}}_{z=0}$

譬如 $k=1$ 時 $res{dfrac{pi cot pi z}{z^{2}}}_{z=0}=-dfrac{pi}{3}$

$sum^{N}_{n=1}dfrac{1}{n^{2}}=-dfrac{1}{2}res{dfrac{pi cot pi z}{z^{2}}}_{z=0}=-dfrac{1}{2} times dfrac{-pi^2}{3}=dfrac{pi^2}{6}$

譬如 $k=2$ 時， $res{dfrac{pi cot pi z}{z^{4}}}_{z=0}=-dfrac{pi^4}{45}$

$sum^{N}_{n=1}dfrac{1}{n^{4}}=-dfrac{1}{2}res{dfrac{pi cot pi z}{z^{4}}}_{z=0}=-dfrac{1}{2} times dfrac{-pi^4}{45}=dfrac{pi^4}{90}$

任意偶數階Zeta函數的值留做習題， $sum^{infty}_{n=1} dfrac{1}{n^{2k}}=dfrac{(2 pi)^{2k}B_k}{2(2k)!}$ ,其中 $B_k$ 為Bernoulli數。

至此，我們就可以計算出任意偶數階的Zeta函數值了。

前兩天我問了個問題，哪一個瞬間，你覺得你的四大力學沒白學？

我想我的答案是，我憂鬱的時候。

圓圓若明月，正取自她的名字。

這一片落葉飛過。

又是,

淪陷又是昏懨的頭。

分開的往昔谷底,

是誰,

又在輕聲呼喚。

想起了她,

想起了她。

讓我,

仍會想起了她。

想起了她。

是誰,

讓我想起了她。