一些簡單的小問題

很久前無聊整理的一些看似很容易其實需要一些思考的小問題(非開問題)，無事便添加了一些新的例子，陳列於此。

1. 是否存在邊長為有理數的三角形，面積為1？為一般正整數n？

2. A 是一條長為L的平面簡單閉曲線C所圍成的面積，證明等周不等式 。

3. ，則 有無窮多組整數解(x,y,z)。

4. 是滿射。

5. 完備正截面曲率流形上沒有直線。

6. 素數 ，則 在 里的解個數是 ，其中A是唯一滿足 且 的整數。

7. a,b是整數，且對幾乎所有素數p有 對某個整數 ，則必有 對某個整數n。

8. 對每個正整數n，每個數域都有無窮多個n次擴張。

9. 在n＞2時為UFD，n=2時不是UFD。

10. 是諾特整環，證明 上 的 有限生成投射模都形如 ，其中M為有限生成投射模。

11. 在無窮多個整數處取整數值的有理函數 一定是有理係數多項式。

12. 對每個正整數n， 有且僅有一個n次域擴張

13. G是一個無撓群，其有一個有限指標的子群同構於無窮循環群，則G也同構於

14. 是否存在這樣的例子：G是群，H是G的一個子群，g是G中元，使得 為H指標無限的子群。

15. G是一個有限群，d整除G的階，則 在G中的解的個數是d的倍數(且=d時解全體構成G的正規子群)。

16. G是一個有限群，則其分類空間 不可能是一個finite CW complex。

17. N是一個正整數，證明 的整係數多項式f只有有限個。

18.可定向閉曲面 (g>1)到自身的連續映射的映射度只能是-1,0,1。

19.證明正截面曲率的曲面上兩條閉測地線一定相交。

20.一組有理係數的多項式方程 (在某個數域中有解) 等價於 (mod p有解對無窮多個素數p)

21.多項式映射 是單射，那麼一定是滿射。

22.二元域上n階對稱矩陣A的對角元構成的向量一定在A的值域里，從而開關燈問題有解。

23.取 的m個不同子集，如果任兩個子集的交都非空且元素個數=k (k不依賴於選取的兩子集)，則m不超過n。

24. A是一個域F上n階方陣，則與(和A交換的矩陣)都交換的矩陣一定是A的多項式。