Bohmian Mechanics

De Broglie-Bohm Theory

Bohmian Mechanics 是量子力學各種詮釋中的一朵奇葩，它其實比「正統」的哥本哈根詮釋更早出現。它源於 de Broglie 發展出來的 Pilot Wave Theory，之後被擱置，又被 David Bohm 獨立發現 [1]，並發展成一套相對完整的自洽理論。Bohmian Mechanics 是一個保留經典軌道的確定性理論，同時它是一個全局的隱變數理論。頗有一些人宣稱所有的隱變數理論都是錯誤的，但事實上被否定的僅僅是局域的隱變數理論[2]。

很顯然，我並不是這個領域的專家，因此我不想做過多的評價。但是作為一個計算學派的信徒，我需要指出，在非相對論性的計算中，Bohmian Mechanics 的計算和正統的 Quantum Mechanics 是完全等價的，只是它通過一些額外的計算可以構造經典意義上的軌道。更準確的說，只要在所謂的 Quantum Equilibrium [3] 前提下，Bohmian Mechanics 的波函數的演化一定由薛定諤方程給出。

Bohm 本人並沒有將 Bohmian Mechanics 推廣到狹義相對論適用的形式，因此也沒有對應的量子場論。根據某知乎網友的回答 [4]，Hrvoje Nikoli 在二十一世紀完成了對應的部分工作。對這些工作感興趣的可以參考相關的討論，或者在 Youtube 上圍觀相關專題 [5]。

Visualization of Pilot Wave

作為一個研究概率的實用主義者，我對 Bohmian Mechanics 並沒有特別的偏好。它為了保留經典的軌道描述而引入了不必要的複雜性，這對於任何篤信「Shut up and calculate」信條的人而言，都是一種詛咒。但是，我認為 Bohmian Mechanics 是一個很好的可視化框架，能夠讓依賴直覺的初學者更容易地理解量子效應。正統的 Quantum Mechanics 研究者則建議徹底放棄經典的物理直覺，完全依賴線性代數和計算。

由於實驗技術的發展，物理學家已經可以測量雙縫干涉中單個光子的「平均軌道」 [6]。

這個計算結果和 Bohmian Mechanics 所預測的完全一致。當然，正統的 Quantum Mechanics 也會給出同樣的結果，並且其信徒堅持光子同時經過了兩條縫，或者同時經過了所有可能的軌道。E. T. Jaynes 認為這種話術是一種「Mind Projection Fallacy」，而我則重申自己的無知立場。

值得一提的是，最近的一些技術進步已經可以用經典系統重現二維量子力學體系中的很多現象，例如雙縫干涉和量子隧穿效應。這些現象恰好可以用某個 Pilot Wave Theory 來描述 [7]。

有條件的可以去看 YouTube 上的相關視頻 [8]，其解說也非常出色。

這是否能說明 Bohmian Mechanics 比正統的 Quantum Mechanics 更接近物理實在？然而並不能。就我個人而言，我只能感嘆於 de Broglie 的物理直覺實在是超乎常人。即便這些可視化和經典模型具有一定的局限性，它們應該被當作有趣的，而不是有害的。

Speculation with Information Theory

其實我從去年年底就開始就開始思考 Bohmian Mechanics，之後卻被 M. R. Foster 的書 [9] 迷住了，正著讀反著讀折騰了好幾遍。通過這些閱讀，我總算搞明白了我折騰的所謂 Field Theory of Data 的適用範圍，它僅僅適用於處於平衡態和准平衡態的系統。因此我的思維開始發散，思考 Bohmian Mechanics 的 Quantum Non-equilibrium 是否是一個突破點。當然我一如既往地想多了。其實，正統的物理學和量子場論研究遠離平衡態的系統，只不過通常限定在從一個平衡態到另一個平衡態的突變。重整化群是解決這些問題的有效工具，而在此基礎上，我把自己的計算方法推廣到所謂的 Redistribution Group [10]。半年過去了，我覺得是時候放棄對 Bohmian Mechanics 的妄念，隨便寫點相關的東西糊弄一下自己和讀者。

在我重新整理相關的資料和素材的時候，我突然發現了一些被自己忽略的細節。在 Veritasium 的視頻中，解說者非常直接地指出：「The wave actually stores information about where the droplet has been」。其實在 Bohmian Mechanics 的基礎方程中，這一點尤其的明顯。我一直試圖從本體論的角度來思考 Bohmian Mechanics，而忘記了我的根本出發點——概率和信息。換句話說，Bohmian Mechanics 最大的特色在於，它是一個出櫃了的全局隱變數模型。

在 Bohmian Mechanics 中，信息有兩部分，一部分是粒子本身的，另一部分是導波（這可以被當作一個場）。但是我們能計算的僅僅是導波，通過實驗可以測量粒子的位置，從而推測它的軌跡。在 Bohmian Mechanics 中，並不存在 Wave Packet Reduction，因為粒子的軌跡是預先確定的。而在正統的 Quantum Mechanics 中，則僅僅存在波函數，這個波函數在測量過程中收縮到某個本徵態。如果我們承認所有的信息都被包含在波函數中，而不存在其他的信息載體（也就是所謂的隱變數），那麼我們不得不接受波函數就是粒子本身。這兩種詮釋帶來了兩種截然不同但是都反直覺的物理圖景，然而其計算和預測完全相同。

在 Bohmian Mechanics 中，並不存在哥本哈根解釋所面臨的測量問題，參與測量的經典儀器同樣是一個量子系統，它的演化同樣由同樣的方程所描述。這個系統有且僅有一個歷史，並不能需要引入隨機性或者無窮多個平行宇宙。形式上，宇宙和一個相對孤立系統的演化可以分解為以下（非相對論的）方程 [4]：

只要宇宙對這個相對孤立系統施加的影響足夠小，我們可以分別計算其波函數，並且做出準確的計算和預測。但是，如果宇宙和這個相對孤立的系統存在相互作用（例如進行測量），那麼這樣的分解就是無效的，因為子系統並不會按照薛定諤方程給出的方式繼續演化。這樣我們又回到了一個更根本的問題上，即究竟什麼樣的系統可以被當作一個孤立系統？

雖然 Bohmian Mechanics 並不能給出規範場論這樣的有效場論，但是它明確地給出量子力學的非局域性。只要我們接受廣義相對論，那就需要接受它提供可測量的信息——LIGO 已經通過引力波觀測到了黑洞的碰撞 [11]。在我們所關心的尺度以上，我們無法忽略廣義相對論效應，根據 Sir Penrose 的講座，我們已經可以測量地面附近高度差異在一米以內的時鐘變化。這意味著即便我們知道如何形式化地描述所謂的宇宙導波，我們需要考慮整個宇宙才能對局域的宏觀現象做出精確的預測。

正統的 Quantum Mechanics 顯然不是出櫃的全局模型，它禁止隱變數的存在，因此它不得不引入「幽靈」一般的糾纏態。但是如果禁止隱變數出現，又規定純態波函數的演化可以用薛定諤方程來描述，那麼我們只能斷言在測量某個粒子的時候，其伴侶的波函數同時發生了「坍縮」。僅從資訊理論的角度來說，量子相關性和糾纏態幾乎是平凡的現象 [12]。如果我們接受全局的隱變數或者其變體，則無需做出類似的斷言。按照 E. T. Jaynes 的觀點，正統的 Quantum Mechanics 面臨的一切悖論都是 Mind Projection Fallacy 造成的 [13]。

無論是否涉及 Bohmian Mechanics，量子場論和廣義相對論的八卦已經超出我的知識儲備，因此我就不再借題發揮了。對我來說，Bohmian Mechanics 最大的意義在於指出，即便是對於量子系統，也有可能找到一個保留經典軌道的詮釋，然而這個軌道並不包含其演化的全部信息。而這和 Prigogine 的論述幾乎是完全一致的 [14]

持續相互作用意味著我們不能將系統的一部分取出來孤立地加以考慮。

Impact on Information Mechanics

在接受了 Ilya Prigogine 的大多數觀點之後，我幾乎建立了一個很幼稚的教條，即基於概率分布的統計描述是研究宏觀複雜系統的唯一選擇。換句話說，我應該徹底放棄軌道描述，僅僅關心相空間中的某個分布的演化。但是 Bohmian Mechanics 卻證明，即便是在最樸素的量子系統中，都可以找到一個保留軌道的表徵（雖然軌道表徵並不是完備的）。

然而，我並不是通過 Bohmian Mechanics 意識到自己的教條中存在謬誤。在 2017 年之前，我的大多數數據集和應用場景都可以用平衡態和准平衡態來近似，我意識到要追隨 Ilya Prigogine 必須去研究遠離平衡態的系統。離開准平衡態以後，傳統的計算工具不再有效，我只得藉助於序參量來描述這些系統。在這個過程中，我發現我可以用相空間中的軌道來表徵系統的穩定性和相變。繞了一大圈，我又回到了類似 Bohmian Mechanics 的軌道描述 [15]。

這種歷程，頗有點像青原惟信所說的 [16]：

「老僧三十年前未參禪時,見山是山,見水是水。

及至後來,親見知識,有個入處,見山不是山,見水不是水。

而今得個休歇處,依前見山只是山,見水只是水。」

又及：我需要澄清一點，我總是在通過學習物理學的計算工具來探索應用系統的相空間表徵，而不是相反。無論我在計算上取得什麼樣的有趣（或者平凡）的結果，都跟我借鑒的理論本身的正確性或有效範圍無關。雖然我真誠地認為量子場論是一種普適的計算框架，但是無論這個推測是否成立，它都不會跟量子場論在現代物理學中的地位有半毛錢關係。

[1] De Broglie-Bohm theory

[2] Hidden variable theory

[3] Quantum non-equilibrium

[4] Patchouli：在物理學層面解釋決定論、否定人的自由意志，有沒有邏輯上的突破口？

[5] https://www.youtube.com/channel/UC_vNkpXPSL6vnvm1bv1IiGQ

[6] Observing the Average Trajectories of Single Photons in a Two-Slit Interferometer

[7] Hydrodynamic quantum analogs

[8] https://www.youtube.com/watch?v=WIyTZDHuarQ

[9] Hard Sell #1

[10] Redistribution Group

[11] LIGO detects merging black holes for third time

[12] 我很喜歡這個吐槽 黑祭司：量子糾纏的機制是什麼？

[13] http://bayes.wustl.edu/etj/articles/backward.look.pdf

[14] 確定性的終結，Prigogine，P35

[15] 空門：Mathematica 到底有多厲害？

[16] 《五燈會元》卷十七