溫故：PID上有限生成模的結構——表示與標準型

01-28

熟悉陸葳蕤的讀者可能還記得以前的一篇微小的循環標準型，現在陸葳蕤學了一點抽代，讓我們看看如何用模結構來輕鬆地得到標準型。

我們說環 $R$ 是整環（Integral Domain），如果 $R$ 是交換的，有非零元且無零因子。容易證明一個交換環有消去律 $ab=ac Leftrightarrow b=c$ 當且僅當它是整環。進一步，任意整環都可以嵌入域中。

我們說 $R$ 是一個PID（Principal Integral Domain），如果 $R$ 是整環，且所有理想都是主理想。不難證明PID是唯一分解環，並且在PID上 $(a)$ 極大等價於 $(a)$ 是素理想等價於 $a$ 是素元。給定 $a=prod_i p_i^{a_i}$ ， $b=prod_i p_i^{b_i}$ ，稱 $prod_{i}p_i^{min{(a_i,b_i)}}$ 是它們的最大公因數，精確到相伴，最大公因數是唯一的；同時不難證明如 $(a,b)=(c)$ ，則 $c$ 是它們的最大公因數，這就是經典的Bezout定理。

以下提及的所有環 $R$ 都默認為PID，所有的模都是PID上的 $R$ -模，所有的同態都是 $R$ -模同態。

給定 $R$ -模 $M$ ，我們說 $M$ 是周期模(torsion Module)，如果對任意 $xin M,exists ain R,a ne 0,ax=0$ ；我們說 $M$ 是周期自由(torsion free)的，如果對任意的 $xin M,ain R,ane 0,ax ne 0$ ；』我們說 $xin M$ 是周期元（周期 $a$ 的），如果存在 $a ne 0,ax=0$ ；我們說 $x in M$ 是階 $p$ 的，如果 $f:a rightarrow ax$ 有核 $(p)$ 。記 $M_{tor}$ 代表 $M$ 的周期元的集合，容易驗證它是 $M$ 的子模。以下結果對模結構的研究起基本作用：如果 $M$ 有限生成，那麼 $M/M_{tor}$ 是自由模，並且 $M cong M_{tor} oplus M/M_{tor}$ 。

第一步是由於有限生成的周期自由模都是自由的，第二步來源於自由模都是投影模。

於是對於PID上有限生成模結構的研究約簡到對周期模的研究，設 $M$ 是周期模，記 $M(p)$ 代表 $M$ 上有階 $p^i$ 的元素集合，容易驗證它是 $M$ 的子模，由Bezout定理我們不難得到 $M = bigoplus_{p} M(p)$ ，此時，研究約簡到 $M$ 上元素都有階 $p^i$ 的情況。

通過歸納法，可以證明元素都有階 $p^i$ 的模 $M$ 有 $M cong bigoplus_{i} R/(p_i^{r_i})$ ，歸納法的重點在於取有階 $p$ 的元素的集合，並把它看作 $R/pR$ -線性空間。用同樣的思想可以證明這樣的表示是唯一的。

總結一下上述討論，我們得到PID上有限生成模基本定理：對PID上有限生成模 $M$ ，都有 $M cong F bigoplus oplus_{q_i} R/(q_i^{r_i})$ ，並且這樣的分解是唯一的。

接下來，通過把 $R/(p_i^{r_i})$ 們排列並組合在一起，可以證明：對PID上有限生成模 $M$ ，都有 $M cong F bigoplus oplus_{i} R/(a_i)$ ，其中 $a_1 | a_2 | a_3...|a_n$ ；用中國剩餘定理可以看出這樣的分解是唯一的（這稱作基礎因子定理）。

我們要怎麼把它用在標準型上呢？在這裡讓我們宕開一筆，先看看什麼叫表示（representation）。

熟知我們可以給 $End(M)$ 以經典的環結構，並把 $M$ 看作 $End(M)$ -模。我們稱 $Rrightarrow End(M)$ 的一個環同態為 $R$ 在 $M$ 上的的一個表示（representation），由此可以把 $M$ 看作 $R$ -模。給定 $Fn$ 上有限維線性空間 $V$ 和 $V$ 上的線性運算元 $A$ ， $f:F[x]rightarrow End(V)$ 將所有多項式代入 $A$ ，不難驗證這就給出了 $F[x]$ 在 $V$ 上的一個表示。下面我們把 $V$ 看作 $F[x]$ -模。

有限維線性空間當然是有限生成的，取 $Vcong bigoplus_i F[x]/(f_i(x))$ （對有限維空間，這個分解不會有自由部分），它們作為 $Fn$ -線性空間也是同構的；現在看每個 $F[x]/(f_i(x))$ ，它無疑是 $A$ 的一個不變子空間，設 $f_i$ 是 $n$ 次的，在它上面， $(1),(x),(x^2)...(x^{n-1})$ 給出了一組基，看 $A$ 在這組基下的矩陣，立刻就可以得到那是一個循環塊，於是我們就得到了 $A$ 的一個循環標準型！由此我們輕而易舉地證明了循環標準型的基本定理，事實上，加上每個循環塊誘導的極小多項式關於整除成鏈這個條件，我們還可以說它是唯一的。

……簡直摧枯拉朽。在這裡，我們又一次感到了抽象帶來的統一性是多麼誘人。

抽象，你的力量難以抵擋！

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PS:如果我們取 $f_i$ 既約，就得到了Jordan標準型——不過這並不是重點。