【矮矩陣 / 長矩陣】- 圖解線性代數 10

矩陣乘法可以理解為一個特定的線性變換, 比如在 2x2 的可逆矩陣表示就是二維空間的(可逆)變換; 3x3 的可逆矩陣表示三維空間的變換.

這些都是 nxn 型的矩陣, 本節來看看更一般 mxn 矩陣, 也就是非方陣的情況 -- 分兩大類：行數小於列數的"矮矩陣"和行數大於列數的"長矩陣".

1 矮矩陣

所謂"矮矩陣"就是 mxn 矩陣 A 的維數 m < n 的情況:

從方程組來說, 就是未知量為 n , 而方程個數 m .

以上面 2x3 矩陣而言, 就是未知量 x 從三維空間被壓縮到二維平面的線性變換, 也就是說存在了壓縮扁平化的操作, 觀察下圖:

觀察要點:

• 三維空間被壓縮為平面;

• 屬於零空間的向量集合被壓縮到零向量, 可以認為在變換過程中丟失了一部分信息;

• 三維空間的基底在變換後落在平面上, 並且坐標分別為(3,1),(1,5),(4,9);

這樣矩陣壓縮的行為, 當然可以從二維平面到一維直線, 如看下圖的變換矩陣(1,1) 的作用下, 線性空間是怎樣的變化過程:

觀察要點:

• 屬於零空間的向量集合被壓縮到零向量;

• 二維空間的基底在變換後落在數軸上(直線)上, 並且變換後坐標分別為 1 和 2;

類似這樣對空間壓縮的操作經常被用於對數據的壓縮, 比如原始數據維數太大, 就需要找到某種變換將原始高維屬性空間降為更低維的空間, 未來再主成分分析 PCA 時候, 我們再來更詳細的圖形展示.

2 長矩陣

反過來考慮當矩陣 A 維數 m > n 的長矩陣:

這樣未知數要比方程數少的情況, 對應的是變換會從低維到高維空間進行的. 比如下面矩陣就是從二維變換到三維空間的映射:

類似, 如果從一維到三維空間的變換矩陣也一定屬於長矩陣形狀的.

無論是矮矩陣, 還是長矩陣, 這樣的非方陣和方陣的一個明顯不同是, 對於方陣我們可以計算它的行列式, 如果不是方陣的話，就不行列式這個概念了.

? 部分截圖出自 3Blue1Brown 的《線性代數 的本質》視頻;

? 視頻可以從 YouTube 和 B站搜索3Blue1Brown 在線觀看, 或者在[遇見數學]公眾號號後台, 分別輸入關鍵字[高等數學]和[線性代數]直接得到下載地址.

上面就是本次圖解線性代數所回顧的知識點. 好了, 現在讓我們在下一篇的中再見!

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