經典比較篇之十：要收集多少數據才能做有效比較？

在《α風險 vs. β風險》一文里，我提到「在檢驗差異一定，且α風險一定的條件下，只要樣本量足夠大，我們肯定能夠拒絕原假設，這也是我們不說接受原假設的原因。」

現在問題來了，究竟樣本量要多大才合適呢？樣本量小了，顯然可信性不高；但樣本量太大也不行，數據收集的成本太高。但總是會有一個恰當的樣本量的。

本文只討論均值和比率比較，具體包括單樣本t、雙樣本t、單比率、雙比率，方差比較就不涉及了。方差分析的樣本量估計在寫到方差分析的時候再考慮。

在均值比較中，樣本量跟什麼有關呢？顯然與實際差異δ、σ(或S)、α、功效1-β有關，當然也與分布有關，本文只考慮t分布的情況。

我們可以直觀判斷：

nn

δ越大，所需樣本量越小，因為如果差異大，我們只需要比較少的證據就可以做出肯定的判斷；

σ越大，所需樣本量越大，這好理解，需要更多的數據來把均值的分布變得更瘦，以保證檢驗的功效，這是中心極限定理在起作用；

α越大，所需樣本量越小，因為拒絕的區域擴大了；

功效越大，則需要的樣本量就越大，因為功效大意味著β要小，根據中心極限定理，在其它條件一定時，樣本量越大，均值的分布就越瘦，就使得β越小。

如果還不明白，請回頭去看看《α風險 vs. β風險》。

下面我們就來看看這些因素是如何影響樣本量的估算的。

1.單樣本t檢驗的樣本量估算

以單邊的檢驗為例(大於和小於結果是一樣的)，先祭出一張圖。

我們知道，t檢驗要先建立統計量，即下式：

用實際均值μ代替樣本均值，從上面的圖上可以很直觀地看到：

由上式可以導出：

現在問題來了，我還沒有開始抽樣呢，怎麼可能知道δ和S是多少呢？這沒辦法，一是看過去的經驗，二是可以先少量抽一點樣估計一下。當然估算樣本量還有一個作用，就是檢驗一下已經完成的比較分析樣本量是否足夠。

當然還有一個更大的問題，樣本量未知時，t值是無法計算的。解決的辦法就是用先用正態分布的z值來代替t值算出一個n，然後用n-1作為自由度，帶入上面的公式中。具體的計算方法見下式：

通常α和功效1-β分別取0.05和0.9，這樣計算出的z值分別為1.645和1.282。如果已知δ=0.5，S=0.5，根據公式計算出的最小樣本量為n=8.56，取整數為9。將自由度9-1=8帶入上面用t分布計算的公式中得n=10.6，取整為11。下一步可以繼續把11-1=10作為自由度帶入公式中，直到計算出的樣本量不變為止，一般再算一次就可以了。本例通過這種迭代後最終確定為n=11。

如果計算出的樣本量較大，t分布與正態分布的差異就比較小了，兩個公式估算出的結果沒有多少差異。

對於雙邊檢驗，其實很簡單，把公式中的α改成α/2就行了。用上面的例子可以算出n=13。

2. 雙樣本t檢驗的樣本量估算

雙樣本t檢驗的樣本量計算方法與單樣本類似，直接給出公式。對於樣本量相同單邊檢驗：

雙邊檢驗要將α改成α/2。

沿用上一個例子，通過迭代計算，單邊檢驗時，n=18，總樣本量為36。

看到這裡，你可能會有一個疑問，這個估算公式中是假設方差相等的，那如果方差不相等怎麼辦？通常我們在做設計時是不會假設方差不相等的，如果實際收集到的數據確實方差不等，再考慮做一些修正。畢竟我們估算樣本量的目的是提高檢驗的精度，提高檢驗的功效，所以在估算時要稍保守一些。

另一個問題，F檢驗顯示方差沒有顯著差異，但從數據上看兩個方差還是有一些差的，是不是要計算合併方差？出於保守穩妥的考慮，建議估算時用那個大一點的方差，這樣估算出的樣本量要大一些。當然你可以再用小的方差來估算一下，看看兩次估算的樣本量差異有多大，然後適當做一些折中調整。

樣本量的估算只是在具體行動之前提供一些參考，具體應該收集多少數據還受到很多實際條件的影響，如成本、時間等，在醫學上還會受到志願者徵集方面的限制。

如果樣本量無法保持一致，則需要對公式進行修正。設兩樣本的樣本量佔總樣本的比例為q1和q2，其關係如下式：

如果q1=q2=0.5，則兩組樣本量相同。樣本量估算公式改為

按上面的公式計算出總樣本量，然後乘以各自的比例就得出各自的樣本量。

3. 單比率檢驗的樣本量估算

根據中心極限定理，比率檢驗通常採用大樣本的正態近似，比率的方差為：

但與連續數據不同的是，原假設和備擇假設各有其方差，兩者是不同的，原假設的方差為

而備擇假設的方差為

在這種情況下，計算α值需要用原假設的方差，而計算β值需要用備擇假設的方差。

通常用樣本的比率p來代替總體的比率π，因此單邊檢驗樣本量估算公式可寫成：

其中：δ為實際比率與目標比率(原假設)之差。

設p0=0.3，p1=0.5，代入公式，得每組的最小樣本量為49。

同樣，雙邊檢驗要將α改成α/2。

4. 雙比率檢驗的樣本量估算

如果兩組樣本量相等，與單比率類似，原假設方差用合併比率來計算，而備擇假設方差是兩個比率的合併方差。即原假設

其中

則單側檢驗每組所需的樣本量可由下式估算：

式中δ為兩比率之差。

設p1=0.3，p2=0.5，代入公式，算得每組最小樣本量為101。

雙側檢驗把上式的α改成α/2。

如果兩組樣本量不同，則可以預先定義兩個樣本量的比值k，n2=k*n1，於是原假設的合併比率變成：

單側檢驗每組所需的樣本量估算變成：

設p1=0.3，p2=0.5，k=0.8，代入公式，算得n1=114，n2 =91。

同樣，雙邊檢驗要將α改成α/2。

本文著重講述了最基本檢驗方法的樣本估算，這種估算的目的是在儘可能保證檢驗有較高的功效。如果拒絕原假設的情況下，檢驗的功效過低，則假陰性的可能性就很大，因此這也不是很好的檢驗。通常我們在做六西格瑪項目或日常的質量管理過程中，通常會忽略檢驗的功效，希望本文能起到一點提醒的作用。

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