什麼是倍頻程?

聲明：未經授權，嚴禁轉載，轉發朋友圈不受影響！

雜訊測量經常用到倍頻程，有時在振動測量中也要用到倍頻程，按照理論公式定義的倍頻程中心頻率不可能全是整數，但相應的標準中給出的中心頻率全部都是整數，這是為什麼呢？在這主要介紹以下內容：

1. 倍頻程的定義；

2. 怎麼計算中心頻率；

3. 倍頻程標準中心頻率；

4. 倍頻程的計算。

1. 倍頻程的定義

先讓我們來看一下C調音符與頻率對照表，如下表所示，考慮每一行，你會發現中音對應的頻率是低音對應頻率的2倍，高音對應的頻率是中音對應的頻率的2倍，而我們知道一個1/1倍頻程（以下倍頻程指1/1倍頻程）寬度的上限頻率是下限頻率的2倍。因此，倍頻程來源於音樂理論。

C調音符與頻率對照表

同一個音符的低音與中音，中音與高音之間相差八個音符，這一點從鋼琴的琴鍵上更易於確認，如下圖所示。下圖中選取的頻率區間是低音6#到中音6#所對應的琴鍵，中間剛好相差八個鍵，即八個音符，也就是說一個倍頻程對應一個八音符跨度。

每個倍頻程帶都有一個中心頻率與上限和下限頻率，如下圖所示，每個框代表一個倍頻程帶，框的左右邊界代表上下限頻率，中心豎線代表該倍頻程帶的中心頻率。上限與下限頻率也稱為這個倍頻程帶的最大與最小頻率，且二者之比為2:1。

各倍頻程帶中心頻率fc與上、下限頻率（fl和fu）的關係如下

將以上關係再整理可得到

一個倍頻程帶可以再劃分為三個等比寬度的頻帶，也就是我們常說的1/3倍頻程，如下圖所示。

1/3倍頻程帶各中心頻率fc與上、下限頻率（fl和fu）的關係如下

將以上關係再整理也可得到類似倍頻程的關係

因此，對於1/N（N=1，2，3，6，12，24等）倍頻程而言，每個頻帶的中心頻率與上下限頻率的關係為

ISO標準150266或者國標GB 3420都已經將倍頻程進行了標準化，下圖為ISO標準150266按1、1/2和1/3倍頻程對20KHz頻帶內劃分的中心頻率，×表示相應頻帶內的中心頻率。但在我國基本上不用1/2倍頻程。

2. 怎麼計算中心頻率

上一節的公式只是表明了中心頻率與上下限頻率之間的關係，並沒有說明是如何確定各個頻帶的中心頻率的。在聲學中，頻率1000Hz是非常重要的，例如它被確定為響度級——方的基準頻率（見國標GB 3239《空氣中聲和雜訊強弱的主觀和客觀表示法》）。因而，規定頻率1000Hz為聲學測量中所用頻率系列的基準頻率。ISO和ANSI已認可的兩種方法中各頻段的中心頻率已明確定義。

一種方法是採用2為基數，相鄰兩個中心頻率之比為

當N=3時為1/3倍頻程，其他倍頻程類似。此時相應的倍頻程的各個中心頻率計算公式如下

另一種方法是採用10為基數，相鄰兩個中心頻率之比為

這個比率也可以寫成

此時相應的倍頻程的各個中心頻率計算公式如下

對同一個倍頻程而言，兩個方法的比率幾乎相同，但是如果對頻帶邊界上的單頻信號感興趣，不同的方法可能導致這些信號出現在不同的倍頻程帶中。基數2使用更簡單，但是基數10實際上是更加合理的數值。在國標GB3240《聲學測量中的常用的頻率》中採用的就是基數10的方法。

按以上兩種方法計算1-20KHz內的中心頻率，如下表所示。從該表中可以看出，兩種方法計算得到的各個中心頻率很接近，但不相等（1000Hz除外）；兩種方法計算得到的絕大多數中心頻率與標準值不相等。由於兩種方法計算出來的中心頻率不相等，因此，各個中心頻率對應的倍頻程帶的上下限頻率必然有差異。

使用基數10，一個非常好的理由是10的冪的倍頻程的中心頻率（1，10，100，1000和10000）都是精確相同的，而基數2的中心頻率卻不是這樣（但在125，250，500，1000，2000，4000，8000和16000處是精確相同的，似乎精確相同的數還多於方法基數10）。如果我們使用基數2的方法去計算1/3倍頻程頻帶100Hz處的理論上的中心頻率，得到的結果是99.21257…，但是如果用基數10計算得到的結果是精確的100Hz。如果我們繼續向下到10Hz和1Hz，那麼基數2對應的中心頻率分別為9.84313…和0.97656…Hz。基數10得到的結果是精確的10Hz和1Hz。需要注意的是這些低頻的中心頻率兩種方法之間的差異近似於1/24倍頻程。

通常聲學方面的工作不太關心這些非常低的頻率成分。這就解釋為什麼這些標準要使用1000Hz作為基準中心頻率，而不是邏輯上的1Hz。如果1Hz用作基準頻率，那麼在1000Hz處，兩種方法將出現嚴重的差異，這在聲學上是非常重要的。

舉例說明計算方法不同帶來的差異，對於基數為2的1/3倍頻程1000Hz以下的一個理論上的中心頻率是1000除以2^1/3，其值為793.7005。使用基數為10相應的中心頻率為794.3282。兩種方法下最近的標準值是800Hz，這個便是標準中所定義的中心頻率。當計算1/3倍頻程帶邊界頻率時，分別使用以下公式計算

此時的中心頻率是精確的理論值(如793.7005)，而不是標準值(800)。對於1/N倍頻程的邊界頻率計算公式如下

我們仍然計算這個中心頻率的上下限頻率。基數2的中心頻率為793.7005，上下限頻率為707.1068和890.8987；基數10的中心頻率為794.3282，上下限頻率為707.666和891.6033。因此，採用不同的方法計算得到的精確的中心頻率和上下限頻率是有差異的，如果剛好關心邊界頻率，則不同的方法會導致這個頻率落在不同的倍頻程帶中。

由於標準中使用的是以10為基數的方法計算得到的，因此，軟體中可能默認的方法也是以10為基數，但實際上，可以更改，像LMS Test.Lab修改界面如下圖所示。

3. 倍頻程標準中心頻率

通過上一節的計算，我們已經明白兩種方法計算得到的各個中心頻率與標準中給出的標準值都不相同（1000除外），這是為什麼呢？

倍頻程的「標準」中心頻率（即上表中的標準值）是基於優先數（Preferred numbers）。這些所謂的優先數起源於19世紀法國陸軍工程師Col.Charles Renard(1849-1905)當時的工作是改進軍方捕捉的氣球數去觀察能量位置。這項工作的結果產生了後來知名的雷納德數（Renard numbers）。優先數在1965年被英國標準化，對應的標準為BS2045：1965優先數，1973年ISO（ISO 3-1973《優先數——優先數系列》）和ANSI也給出了相應的版本。優先數並不是特定用於1/3倍頻程，他們廣泛用於寬頻應用中，包括電容和電阻、建築工業和零售包裝業等。

首先讓我們明白一下什麼是優先數，它們起什麼作用。在工業設計行業，產品開發必須選擇一些長度、距離、直徑、體積和其他一些特徵量，而所有這些選擇的特徵量都受功能、實用性、兼容性、安全或成本等因素的約束。這時選擇的這些尺寸通常採用的數就是所謂的優先數。不同的人在不同時期設計產品時，優先數能增大產品之間的兼容性，有助於減少製造不同尺寸的產品。如某單位要生產4種不同尺寸的螺桿，長度位於10-100mm之間，那麼選擇16mm、25mm、40mm和63mm將在一定程度上能保證滿足客戶的需求，減少浪費，這些尺寸數值就是優先數。

在英標BS2045中，這些優先數被稱作為R5，R10，R20，R40和R80等數列。用字母「R」是為了感謝1870年法國陸軍工程師雷納德所做的第一手工作。

下面的R80數值列表給出了1/24倍頻程10Hz以內的優先頻率值。對於1/12倍頻程每跳過1個數得到一個相應的優先值1.0，1.06，1.12等；對於1/6倍頻程每跳過3個數得到一個相應的優先頻率值1.0，1.12，1.25等；對於1/3倍頻程每跳過7個數得到一個相應的值1.0，1.25，1.60等；對於1/1倍頻程每跳過23個數得到一個相應的值1.0，2.0，4.0等。對於1/3倍頻程，我們已知的標準值序列為：1.0，1.25，1.6，2.0，2.5，3.15，4.0，5.0，6.3，8.0，10…

1/24倍頻程1到10Hz的優先數值（R80）

因此，標準中定義的各個倍頻程的中心頻率並非上一小節中兩種方法計算得到的數值，而是按以上規則選擇的相應優先數作為「標準」中心頻率。

4. 倍頻程的計算

如下圖所示為一個雜訊信號的頻譜圖和1/1倍頻程圖，是怎樣由頻譜得到倍頻程的呢？左圖是由一條條譜線所組成，而右圖是由相應的倍頻程帶組成。

在進行倍頻程計算時，根據相應的方法（基數10還是基數2）來確定各個倍頻程帶的上下限頻率（倍頻程帶），因此，相應倍頻程帶內的譜線數也就確定了。各個倍頻程（1/N倍頻程）帶內的聲壓均方值是該頻帶內頻譜譜線幅值的均方值之和：

pi是各條譜線的均方根值，然後再對上式計算分貝值

用倍頻程（1/N倍頻程）表示的總聲壓均方值則是各個倍頻帶內的均方值之和

然後對此值按上面公式計算分貝值則是總聲壓級，即上面右圖右側的柱狀線（L計權值）。倍頻程（1/N倍頻程）的譜密度，即均方值/Hz，則是這個倍頻帶的均方值除以相應的帶寬。

因此，倍頻程表示的是相應倍頻程帶內的聲能之和，如下圖所示。藍色線條表示相應的頻譜成分，由於高頻段倍頻程帶越寬，因此，相應的譜線越密集。從這幅圖也可以看出，當倍頻程用於雜訊測試時，是評價一個完整倍頻程內的雜訊平均幅值，常用於分析寬頻雜訊，突顯不出主要的頻率成分。

關於優先數和雷納德數更多詳情，請參閱：

覺得不錯，請點贊！

擴展閱讀

5.什麼是分貝dB？
推薦閱讀：