Dynamic Causal Modeling：確定性因果模型（上）

第一部分：綜述

成像建模課的時候，老師曾經說過，如果在文獻中報告，功能磁共振成像數據直接體現了大腦神經活動，可能犯了表述不嚴格的錯誤。因為核磁成像數據只是對bold信號的反映，它最直接的宏觀生物學意義是血液動力學信號（Bold Signal）。功能磁共振成像的意義就是：通過實驗設計、數據處理等手段從bold信號中分析出神經活動的量化描述。建立起一些心理活動的關聯。

理想的情況下，用一個線性關係就可以省略掉許多不必要的麻煩。甚至說，科學研究的目的就是簡化我們對這個世界的認識。比如說，在GLM裡面，其實已經把一定腦區內的神經活動歸結為一個delta函數，比如說，將血液動力學信號表述為在神經元活動激發下的線性累加。

儘管科研的目的是發現簡潔的規律，但是手段和知識基礎太「簡潔」了，那就有些不適合了。在生物信號分析中，到處算平均值會導致信號本身的意義會被平均值掩蓋。還有研究稱MVPA對成像數據的Decoding存在著幾個大的缺陷。最重要的是，簡化的理解世界的模型往往掩蓋了很多對象的非線性特徵。

而不管是腦區之間的互相影響，還是神經活動與血液活動的關係，都存在著複雜的聯繫。DCM試圖用系統科學和貝葉斯統計的一些方法去刻畫這些非線性特徵，因為目前人們對於生物學和心理學的大部分規律認識只能是統計意義上的，沒有深刻到了描述一個動力學系統那樣的地步，所以在列出幾個偏微分方程後，DCM就把我們估計的參數的分布區域通過一些假設和貝葉斯推論穩定在一個非線性系統中可以局部線性估計的範圍中。當我們在應用這種方法的時候，發現結果「竟然」還是「合情合理」的，可見這個冗長複雜的演算法每一步驟都不是突發奇想得來的。

圖1. 確定性DCM原理的基本框架，來自Friston et al., 2003.

第二部分：神經活動狀態方程

神經活動狀態方程：描述了不同腦區在神經活動狀態上的耦合關係（不包含血液動力活動）。

等式?z是神經活動的變化，F是未知的函數，

z是所有腦區神經活動信號，u是外界輸入，θ指的是有效連接參數，是待估計的參數。

其中，矩陣A代表沒有外界刺激時腦區間的固有連接，稱為有效連接。

uj表示第j個外界輸入：通過另外一個腦區對目標腦區產生的影響（j≠i）。

Bj表示第j個有效輸入引起的連接變化。

C表示外界輸入對於神經活動的直接影響。

在DCM中，已知u，需要估計參數A，Bj和C。即原有的連接矩陣，刺激對連接的影響和刺激對神經活動的直接影響。腦成像測量的是bold signal，而DCM假設Δz和bold

signal的活動是非線性的。因此下一步要根據我們得到的bold信號估計Δz。

第三部分：血液動力學狀態方程

腦區的神經活動引起了血管擴張信號（Vasodilatory signal）、腦血流（cerebral

blood flow）、腦血容（blood volume）和脫氧血紅蛋白含量（deoxyhemoglobin content）的變化。根據一些研究，這些變數之間有下面的非線性關係：

其中，Δsi指的是血管擴張信號，fi指的是腦血流，vi腦血容，qi脫氧血紅蛋白含量。其中τi、κi、Υi、α的ρ是待估參數。Ρ是靜息血氧提取率。

如果這些參數都已經估計好了的話，目前已經可以通過非線性方程組推導出了刺激輸入和四個血液動力學狀態變數的關係，而這四個血液動力學狀態變數決定了fMRI儀器讀到的bold信號，如下所示：

其中，V0是靜息狀態大腦總的血容量。即（血細胞容量+血漿總量）/腦重，因為這個量在個體間差異不大，因此採用以往解剖學研究得到的一個常數0.02.

第四部分：小結

到此為止，從心理學刺激輸入到bold信號建立起了一套非線性的數學模型，這個數學模型的參數可以分為兩類： A，Bj和C是描述神經元活動屬性的參數，統稱為θc， τi、κi、Υi、α的ρ是描述血管動力學屬性的參數，統稱為θh。 θc和θh統稱為θ。設y為fMRI儀器讀取的bold信號，u為刺激輸入，那麼得到描述刺激輸入和bold信號的非線性方程：

上式中，我們已經知道了u和y，需要估計參數θ，即一系列包含大腦連接變化的參數。DCM主要使用貝葉斯參數估計的方法來估計θ。

好啦，你如果堅持到這裡，DCM最枯燥的那部分已經過去了。。。

其實這些生物研究的公式，我也不清楚咋做出來的。我只是對每個參數在公式中的關係檢查了一下，大體符合我那些貧乏的生物學知識。。。

下一步我們將講到DCM用到的兩個最重要的知識（高八度敲黑板劃重點）：貝葉斯估計和系統穩定性假設。

參考文獻：

1、Friston, K. J., Harrison, L., & Penny, W. (2003). Dynamic causal modelling. Neuroimage, 19(4), 1273-1302.

2、Friston, K. J., Penny, W., Phillips, C., Kiebel, S., Hinton, G., & Ashburner, J. (2002). Classical and Bayesian inference in neuroimaging: theory. NeuroImage, 16(2), 465-483.

這篇文獻里講到了一個特別重要的層級模型。

3、Friston, K. J. (2002). Bayesian estimation of dynamical systems: an application to fMRI. NeuroImage, 16(2), 513-530.

4、Penny, W. D., Stephan, K. E., Mechelli, A., & Friston, K. J. (2004). Comparing dynamic causal models. Neuroimage, 22(3), 1157-1172.

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