光學系統像差雜談（1）：費馬原理

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這個系列是我一直以來想要寫的，然而遲遲未動筆，實在是擔心實力不夠，寫出來不倫不類。最近跟人聊天，聊到相機鏡頭的表現，不免又談論起像差的話題，發現即使是相當資深的發燒友也對很多概念理解有誤。借著這個契機心裡又燃起了下筆的熱情，趁熱打鐵，先寫下來再說了。本來也是想寫成一些隨筆或者筆記的形式，所以章節之間的邏輯性就顧不上了，大體上就是我想到哪兒寫到哪兒，還望讀到文章的朋友們海涵。

1 費馬原理

作為開篇的第一節，直接把費馬原理拿過來講，似乎邁的步子有點大。然而在現代物理的概念中，物理學家們更偏愛從基礎的守恆律出發作為基石來構建上層建築，所謂第一性原理，比如從動量守恆律出發，推導出牛頓定律。而在經典幾何光學裡，費馬原理就是這樣一種基礎性的原理。直接從費馬原理出發，可以幫助建立更宏觀的印象。

費馬原理說的是什麼呢？維基百科詞條 Fermats principle 里是這麼說的：

A more modern statement of the principle is that rays of light traverse the path of stationary optical length with respect to variations of the path.

我自己這麼翻譯：

光走的路徑，是光程穩定的路徑。

這裡先不多做饒舌的解釋，大體理解成光走的路徑，是所有可能路徑里用時最短、或者最長、或者恆定的。

舉個例子，均勻介質中，從 A 點到 B 點，光線可以走很多路徑（如圖中藍色的路徑），然而光線實際走的路徑是紅色的那條，根據簡單的幾何學知識我們知道，兩點之間線段最短，也就是說那條路徑是所有可能的路徑中用時最短的。這裡我們從費馬原理推導出了「均勻介質中光沿直線傳播」這一規律。

再舉個例子，假設光線在兩種不同介質中的速度是 $v_1$ 和 $v_2$ ，從 A 點到 B 點中間經過 C 點折射。不妨設中間分界面為 y 軸，並且 A 點坐標為 $(x_A,y_A)$ ，B 點坐標為 $(x_B,y_B)$ ，C 點坐標為 $(0,y)$

光線走過 ACB 折線所需時間為

$t = frac{sqrt{x_A^2 + (y_A - y)^2}}{v_1} + frac{sqrt{x_B^2 + (y_B - y)^2}}{v_2}$

若要光程穩定，就是時間 t 對 C 的位置的微分為 0：

$frac{text{d}t}{text{d}y} = frac{y-y_A}{v_1sqrt{x_A^2 + (y_A - y)^2}} + n frac{y-y_B}{v_2sqrt{x_B^2 + (y_B - y)^2}} = 0$

注意到上式中 $(y-y_A) / sqrt{x_A^2 + (y_A - y)^2}$ 就是入射角的正弦值 $sin i$ ， $(y-y_B) / sqrt{x_B^2 + (y_B - y)^2}$ 就是出射角的正弦值的相反數 $-sin i$ ，那麼我們就直接得到了折射定律（Snells Law）：

$frac{sin i}{v_1} = frac{sin i}{v_2}$

2 等光程成像

對於一個光學系統來說，一個簡單的場景就是對一個點光源成一個點像，如下圖所示。

這裡我們不深入細節，不關心這個光學系統是怎麼造出來的，不關心裏面有幾個折射面有幾個反射面，整個光學系統就看做一個黑箱，他的作用就是把一個點發出的光線，匯聚到另一個點。在這裡，我們姑且把這種光學系統稱作理想光學系統（當然，在之後的文章中會多次出現這個概念，會有更充分的說明）。我們看看，要做到這一步，這個光學系統應該滿足什麼條件。

我們還是運用費馬原理來分析，這裡用費馬原理的好處就出來了，從一個更高更抽象的層面來看問題，可以不用管光學系統內部各種細節。對這樣一個場景，如上圖，光線從 A 點到 B 點，可以走任意一條紅色的路徑，而不是唯一的路徑。這一點和前面分析的場景都不同了，之前分析的場景中，光線從一點到另一點，只有一條唯一的路徑，而在這裡表現為可以有無數條可行的路徑。根據費馬原理，這意味著這些路徑都應該滿足一個條件：等光程，換句話說，光沿著這些紅色的路徑走，所需要的時間都是相等的。

你看，我們完全沒有關心光學系統的細節，就推導出了理想光學系統應該滿足的成像條件，這就是用費馬原理的方便之處。

更進一步的，我們有了等光程的概念，分析的對象也可以不再局限於具體的點光源。從一個點光源發出的光，經過相等的時間，都會到達一個球面，這個面就叫做「等光程面」，從波的角度看就是「波前（Wavefront）」。既然從點光源到這個球面的光程相等，那麼我們分析的時候，就可以不用從實際點光源出發，而是從這個等光程面出發，來計算光程就可以了；並且，我們也不必計算到成像點的光程，而只要計算到距離成像點相等光程另一個等光程面就可以了。

有了等光程面（波前）的概念，我們可以進一步描述理想光學系統。顯然，從點光源出發的等光程面是一個球面，距離成像點相等光程的等光程面也是一個球面。如果把平面波看做半徑無窮大的球面，事實上這就把平行光（無窮遠點）也一併包括進來了。所以理想光學系統就可以描述為：把球面波前轉換為另一個球面波前。

3 實際應用：圓錐曲線的光學性質

我們來看幾個等光程條件實際運用的例子。在中學的解析幾何中，我們都學過圓錐曲線，也了解到圓錐曲線的光學性質，下面我們來運用等光程條件來分析一下圓錐曲線的光學性質。

我們先看橢圓，根據定義，橢圓上任意一點「到兩焦點距離之和為定值」，也就是說，下圖中所有紅色的路徑總長度都相等， $F_1C+CF_2$ 等於一個定值；如果光沿著這些路徑走，就是等光程的。所以實際中，如果其中一個焦點是一個點光源，那麼經過橢圓的反射，就一定會在另一個焦點處成一個完美點像。

再看看拋物線，我們來計算一下平行光入射到焦點的光程。很顯然，平行光的等光程面就是一個平面，我們就從這個平面出發進行光程計算。根據定義，拋物線上任意一點「到準線的距離等於到焦點的距離」，也就是說對拋物線上任意一點 B，都有 $AB+BF=AB+BC=AC$ ，這裡容易看出 AC 的長度是一個定值，所以圖中這些紅色的路徑都是等光程的，所以拋物線可以把平行光完美地匯聚到焦點上。

對於雙曲線的情況，分析過程類似，直接從定義出發就可以。這裡就不再展開了，讀者可以自己想一想。

綜上，圓錐曲線可以在特定情況下進行完美成像。

4 小結

費馬原理可以看做是幾何光學中最基礎的原理，從費馬原理出發可以推導出幾何光學的規律，包括「在均勻介質中光沿直線傳播」，「折射定律」等；
對於一個理想的光學系統，必須滿足等光程成像的條件；
一個理想的光學系統，把一個球面波前變換成另一個球面波前；
利用費馬原理可以很方便地推導圓錐曲線的光學性質，在特定情況下圓錐曲線可以進行完美成像。