語言與數學邏輯（一）——綜述

本專欄中關於邏輯的部分主要來自GTM 53和YouTube上的公開課https://www.youtube.com/watch?v=V49i_LM8B0E，當然還有本人的一些想法。

人類的所有語言，就其本質而言，都是從一個符號的集合中選出一些來排成一個序列表示意思，我現在寫的東西也不例外。數學邏輯中使用的符號不外乎字母、數字、括弧、個別標點和邏輯符號。（有人會發現這裡沒有，它一般被作為基本的符號，但是我想了一想，覺得它的作用可以用其他幾個符號替代。這件事後面再提。）

有人會發現問題，因為我現在寫的所謂的數學已經用到了遠遠多於之前提到的符號，詳細的說也就是用到了大量的漢字。實際上，這是因為我所寫的並不是「數學」本身。

人類的語言的功能大體可以分為兩類，有一種是直接用來表意的，也就是談論對象的語言(object language，簡稱對象語言)，還有一類就是用來討論語言本身的語言，比如說學習外語的時候用來談論語法的語言，稱為元語言(meta-language)。只用於表達數學上的意思的語言確實可以只用符號表達，而表達其他意思，例如用於談論數學語言的語言很難只用與數學語言相同的符號系統來表達。在之後，凡是對象語言，本專欄中一律只用符號表達。

還需要說明的是，邏輯學與數學的各個分支在邏輯上地位是不同的，它為數學建立一種推理的模式。我們在論述邏輯的規則的時候並不使用對象語言，因為我們不是在描述一個數學的結論，只是描述一種模式，在遇到實際的數學問題的時候可以按照這個模式進行推理。邏輯學上的「證明」也和數學的「證明」不同。或者說，相對於數學而言，邏輯學也是元語言，用於探討推理的數學語言遵循的語法。因此我們要將邏輯學的「公理」和數學的「公理」區分開來，它們不僅形式上不同，而且地位不同——邏輯公理是其他的任何東西的基礎。事實上，「公理」「公理化」這一類的思想本身就是在推理的基礎上建立起來的。

在最初，人們探討的是生活中具體的東西的性質，比如「蘇格拉底是個人」，由此產生了「命題」這一概念，也就是對「蘇格拉底」這種具體的個體的判斷，進而產生了所謂的「命題邏輯」(propositional logic)。為了與後面相對，也可以稱為常量（判斷）邏輯。

後來，人們開始希望探討一類事物，或者說一個抽象的、不確定的事物的特點，比如「人固有一死，或輕於鴻毛，或重於泰山」。將第一個語句翻譯為現代漢語可以是「對於任何一個人，他都會死。」我們發現，這個地方「一個人」的指向明顯與「蘇格拉底」不同。儘管它也是指一個人，但它不指向任何一個具體的人。我們可以將「蘇格拉底」稱為「常量」，而將抽象的「一個人」稱作「變數」。由此誕生了一種新的邏輯形式，不妨稱之為變數（判斷）邏輯(predicate logic, first-order logic)，因為它的主要形式是針對變數性質的判斷。

需要說明的是，後者是包含前者的，我們在探討變數的一般性質的時候，也可以探討常量的性質。

之後，我們會分別探討兩種邏輯形式。未完待續……

RAmen~