系列三之：軸壓桿件失穩後的變形可求嗎？（上）

從數學上說，理想彈性壓桿失穩是因為桿件橫向變形的控制微分方程在軸力取得特殊值（即特徵值，也就是臨界力）時，橫向變形存在有非零解。這也就是所謂的微分方程的特徵值問題。這是個有趣的現象：桿件未受到橫向力，卻發生了橫向變形。然而，換句話說，只要軸力不取特徵值（無論軸力大於還是小於特徵值），微分方程都不應該有橫向變形。那麼問題就來了，如果存在這麼一個理想壓桿實驗：

（1）當軸力無限逼近臨界力時，這個問題我們在上一篇已經解決了。即，對於理想壓桿，沒有橫向變形；對於有初始缺陷的壓桿，有很大的橫向變形。

（2）若將軸力加大到等於臨界力，則壓桿會有任意多種平衡形態，位移變成任意值，不可求得了。

（3）如果軸力大於臨界力，從數學上方程上說，因為軸力不等於特徵值，微分方程仍然沒有橫向變形的解，難道此時壓桿就不失穩了嗎？或者壓桿的變形又恢復了嗎？

實際上，當軸力等於臨界力時，桿件發生失穩現象，我們雖然不知道具體的橫向位移值是多少，但我們可以確定的是這個位移存在，且可能不小。因此，彈性壓桿的橫向微分控制方程中採用的小變形假設就不再成立了。

那麼，如果我們放棄小變形假設，如圖3-4所示，曲率應該嚴格的寫為：

(3-35)

截面彎矩值可以寫為：

(3-36)

同時，如果考慮軸力的初始偏心距，外荷載產生的彎矩值為：

(3-37)

如圖3-4所示，大變形情況下，弧長與坐標的關係為：

(3-38)

聯立式子(3-36)~(3-38)，大變形的壓彎桿件控制微分方程可以寫為

(3-39)

方程(3-39)的求解有一點小技巧，將方程乘以，得到

(3-40)

我們注意到：

(3-41a)

(3-41b)

將(3-41)代入(3-40)得到

(3-42)

微分方程(3-42)可以直接進行一次積分，得到

(3-43)

其中為待定係數。如果柱端轉角為且,則可以得到：

(3-44)

若將式(3-44)寫成歐拉臨界力的形式為

(3-45)

整理式(3-43)，可以得到

(3-46)

式中的正負號表示壓桿有可能朝兩個方向發生失穩。

令，則有

(3-47)

將其代入(3-46)得到

(3-48)

如果，壓桿為軸心受壓桿，即，此時有，則:

對於桿件起點時，有;

對於桿件中點，由於對稱性，轉角,則。

由此，對式(3-48)從積分，可以得到:

(3-49a)

(3-49b)

方程(3-49a)的右邊即為橢圓積分，而方程(3-49a)也被稱為第一類完全橢圓積分方程 。

對於給定的軸力，若可以求解方程(3-49)則可以得到軸壓桿件的梁端轉角以及撓曲線。不幸的是，橢圓積分方程很難解析的給出，因此方程(3-49)只能獲得相應的數值解。

然而，我們可以討論一些特殊的情況。

對於梁端轉角不大的情況，橢圓積分中可以取二階近似：

(3-50)

常數可以近似的寫成

(3-51)

將(3-50)與(3-51)代入(3-49)可以得到

(3-52)

注1：與數值求解結果比較，可以驗證，當時，式子(3-42)的誤差小於1% ；

注2：式子(3-52)是對橢圓積分方程取二階近似得到的解，與小變形中的線性理論（一階）相比，此解為二階近似解。