Cole與有限單群(IV)

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註：題圖圖片來自Oberwolfach photo collection。照片居中者是Hans Zassenhaus，右邊是Hilbert的學生Hellmuth Kneser。

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Zassenhaus是Emil Artin的學生。1934年正是納粹肆虐之時，儘管有很多不便，Zassenhaus還是在Artin的指導下提交了博士論文「Kennzeichnung endlicher linearer Gruppen als Permutationsgruppe（關於作為置換群的有限線性群的刻畫）」。這篇博士論文的主題就是研究上篇中提到具有以下三條性質的群：

I) 群在n+1個點上是可遷的，對任意一點的穩定子群在剩餘n個點上是可遷的；

II) 除單位元以外沒有同時穩定三個點的元素。

III)滿足條件I)II)的群不存在這樣的正規子群：它在n+1點上可遷，而且正規子群中除單位元以外元素在n+1點上的作用不含不動點。

Zassenhaus試圖證明的是：這些群就是一般有限域上的群 $mathrm{PSL}_2(mathbb{F}_q)$ 或 $mathrm{PGL}_2(mathbb{F}_q)$ 。這篇論文某種程度上可以看做是對Frobenius 1902年工作的推廣。

Zassenhaus是從這個群對一個點的穩定子群著手進行研究的。Zassenhaus群的穩定子群在n個點上可遷，而且其中的元素最多只有一個不動點。我們在第一篇中已經提到過，如果n是質數，那麼這個群必然同構於 $mathbb{F}_p$ 上線性變換的子群 $zmapsto az+b,aneq 0$ 。證明是什麼樣的呢？ $S_{p+1}$ 中的p階元是 $1^1p^1$ 型的置換，因此p階元在p個字母上的作用可以看做 $zmapsto z+k$ 。p階元生成的p階群在 $S_{p+1}$ 中的正規化子中的元素 $tau$ 一定滿足函數方程 $taucirc(z mapsto z+k)circtau^{-1}(z)=z+l$ , 所以 $tau$ 一定是 $mathbb{F}_p$ 上的線性映射。

對於360階單群(n=9)和504階單群(n=8)的穩定子群我們能說些什麼呢？

i)根據第二篇的論述，前者的Sylow 3-子群是 $C_3times C_3$ ,後者的Sylow 2-子群是 $C_2times C_2times C_2$ ，這兩個群是Abel群，Sylow子群的正規化子在n個點上是可遷的，不含不動點的元素與單位元正好構成Sylow子群本身；

ii)考察n個點0,1,2,...,n-1上的可遷群, 這個群中除單位元以外的元素最多只有一個不動點。這樣的群稱作Frobenius群。Frobenius 1901年證明：群中不含不動點的元素與單位元正好構成這個可遷群的正規子群。在這裡正規子群就是i)中的Sylow子群，它是Abel群；

iii)我們考察Sylow 子群在 $S_n$ 里的正規化子。固定點0的子群在剩餘n-1點上是可遷的。根據這一點，可以建立n點上的域結構：

----由於Sylow 子群F在n點上是可遷的，所以任意一點都可以表示為 $f(0),fin F$ ,而加法就可以定義為 $f_1(0)+f_2(0)=f_1f_2(0),f_1,f_2in F$ ;

----Sylow子群在 $S_n$ 中正規化子中固定點0的元素構成n-1點上的可遷群。對於我們處理的情況而言，這個群是n-1階循環群。我們選取群中把點1搬到點x的置換 $M_x$ (這樣的置換是唯一的)。那麼n點上的乘法也可以通過群運算實現： $xcdot y=M_x(y)$ 。容易證明，這樣的運算在n點上構成半群，在除去0以外的n-1點上構成Abel群，而且所定義的加法與乘法滿足分配律。因此Sylow 子群的正規化子同構於有限域 $mathbb{F}_n$ 上線性變換的子群 $zmapsto az+b,aneq 0$ 。其偶置換構成的子群 $zmapsto a^2z+b,aneq 0$ 。

iv)我們注意到穩定一點子群的階和上面提到的偶置換構成的子群的階是完全一樣的，所以穩定一點的子群就同構於有限域 $mathbb{F}_n$ 上線性變換構成的群 $zmapsto a^2z+b,aneq 0$ 。

下面的工作就變得非常簡單了，實質上就是上一篇Frobenius證明的翻版。我們考察n+1點上固定點 $infty$ 的子群，它同構於有限域 $mathbb{F}_n$ 上線性變換構成的群 $zmapsto a^2z+b,aneq 0$ 。然後再考察交換 $0,infty$ 兩點的二階元。這樣的二階元受到的限制和上篇中的討論沒有本質的區別。它只能是 $mathbb{F}_ncupinfty$ 上的映射 $zmapsto -1/z$ 。所以我們就可以得到結論：

360階單群和504階單群的結構是唯一的。

前者是 $mathrm{PSL}_2(mathbb{F}_9)$ ,它的另一個身份是 $A_6$ ; 後者是 $mathrm{PSL}_2(mathbb{F}_8)$ ，這正是Cole 1893年發現的新單群[注: Emile Mathieu大概早在19世紀60年代就給出了這類群，但是他並不知道這個群是個單群]。Dickson以此為契機，發展了Camille Jordan的線性群理論，在1901年出版的書「Linear groups, with an exposition of the Galois field theory」中，他列出了53個階小於一百萬的單群。1901年時並沒有足夠的工具來證明這個列表已經窮盡了階小於一百萬的所有非Abel單群，事實上Dickson漏掉三個群：一個鈴木群 $Sz(8)$ (29120階群), 兩個散在單群（Janko群，175560階，Hall-Janko群，604800階）。

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注1：美國數學界在20世紀前二十年特別熱衷於以初等方法對有限單群進行分類。不過可以想像，群的階越大，分類就變得越困難。Dickson本人曾經在二十世紀二十年代宣稱：有限群論已經死亡！事實當然不是這樣。

注2：我們列出的五個單群的階有一個特點，那就是群的階只有三個質因子。階只有三個質因子的單群有8個，都是1900年之前就被人發現的單群，但是證明這個列表是完全的，要等到有限單群分類完成之後了。