假設檢驗之五：α風險 vs. β風險

既然是基於隨機數據，帶有概率的判斷，那肯定會有出現判斷錯誤的風險的，奈曼-皮爾遜為此定義了兩類風險，即α風險和β風險。相信學過六西格瑪的人，不管他是否理解，應該都知道。我這裡也不多啰嗦，直接給出下面這張圖。

運用反證法時，我們總是先假設原假設為真，那麼備擇假設為偽，因此我們將α風險命名為拒真風險，β風險命名為納偽風險。在我學的通信原理中也稱其為虛警概率和漏警概率。兩種風險描述的都是出錯的概率。

在企業，無論是製造業或者是服務業，α風險代表生產者的風險，β風險代表使用者的風險。在產品出廠時通常要做終檢，α風險的含義就是將合格的產品檢驗為不合格的產品，要麼返修、要麼報廢，總之生產者要承擔損失；β風險是把不合格的產品當成合格的產品流到使用者手上，給使用者帶來損失。

同樣，你將可疑的人當成小偷抓起來，如果他是無辜的，你把他當小偷打一頓，那是α風險，也是嫌疑人的風險；如果他真是小偷，你把他放過，那就是β風險，也就是你的風險了。

α風險和β風險是相愛相殺的一對，雖為孿生，然終生未見，卻也彼此相依，此消彼長。它們長成什麼樣子呢？讓我們逐步揭開它們的面紗。

我們來看看α風險和β風險長成什麼樣子。首先建立假設：

：μ=10，：μ>10

這是一個單總體的假設檢驗，設總體方差已知，=1，樣本量為16。根據中心極限定理，樣本均值的標準差為

根據標準差(總體的或樣本的)、樣本量和事先定義的α值計算出的拒絕域與接受域的邊界稱為臨界值，如果是z檢驗，則記為，如果是t檢驗，則記為。

不同的假設，拒絕域也不同，這裡只是舉一個簡單的例子來做個說明。

那麼β風險在哪兒呢？我們再假設一下實際的總體均值，比如是10.5吧(在實際的檢驗中，通常是用樣本的均值來估計)，方差不變，還是1。那麼β風險就如下圖：

可見β風險不是人為確定的，也就是說在樣本量一定的條件下，這兩種風險你只能確定其中之一，不能兩種都事先確定。

如果你認為α風險取0.05小了，改成0.1也可以接受，那麼上圖就變成這樣：

β風險變小了。由此可以看出，在樣本量一定的條件下，α越大，β越小，反之亦然。

那麼有沒有辦法保證在α一定的條件下，β也儘可能的小呢？有！起決定作用的就是樣本量，樣本量越大，則均值的標準差就越小，曲線看起來就越瘦，兩個曲線交叉的部分就越少，這樣β風險就會變小。我們把樣本量改為36、64，看看會有什麼變化。

可以看到，隨著樣本量的增加，β迅速變小。

下圖給出了在均值差異固定(本例為10.5-10)、α=0.05條件下，功效1-β隨樣本量的變化情況。可以看出，在樣本量較小時，隨著樣本量增加，功效迅速提高。但當功效達到較高水平後，樣本量的增加對它的影響就很小了。

需要注意的是，當p值正好為0.05時，備擇假設正好與重合，這時候備擇假設的分布密度曲線一半在接受域，一半在拒絕域，功效正好等於0.5。

各位看官又要問了，那樣本量要多大才能保證有較高的功效呢？別急，以後會說的。

功效還與備擇假設與原假設之差的大小有關，差越大，則功效越高。下圖就是在均值為10，標準差為1，樣本量為25時，p值與功效隨檢驗差異(圖中假設備擇假設比原假設大)的增大而變化的趨勢。

雖然這裡用單總體檢驗作為例子，但兩種風險的規律是普遍的。最後給大家總結一下：

1. α風險和β風險都是判斷錯誤所帶來的風險；

n2. 在樣本量一定的條件下，α風險越大，則β風險越小，反之亦然；

n3. 在樣本量一定的條件下，檢驗差異越大，則β風險越小，反之亦然；

4. 在檢驗差異一定，且α風險一定的條件下，樣本量越大，則β風險越小；

5. 在檢驗差異一定，且α風險一定的條件下，只要樣本量足夠大，我們肯定能夠拒絕原假設，這也是我們不說接受原假設的原因。

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