模態分析邊界條件：自由邊界與約束邊界的差異
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對結構進行模態測試，總需要考慮邊界條件，到底是採用自由邊界還是約束邊界？兩種邊界條件又有什麼區別與聯繫？在討論兩種邊界條件的區別與聯繫之前，讓我們先來討論一下剛體運動與彈性運動、以及剛體模態和彈性模態。
本文主要內容包括：
1. 剛體運動與彈性運動；
2. 剛體模態與彈性模態；
3. 自由邊界與約束邊界的區別；
4. 自由邊界與約束邊界的聯繫；
5. 邊界支承剛度要求。
1. 剛體運動與彈性運動
首先，讓我們對剛體和彈性體的定義作一個簡單的回顧。
剛體是指在任何力的作用下，體積和形狀都不發生改變的物體。不論是否受力，在剛體內任意兩點的距離在運動過程中都不會改變，也就是說剛體不發生變形。理想的剛體是一個固體的，尺寸有限的，變形情況可以被忽略的物體。我們常說的「彈簧-質量」模型中的那塊質量可以認為是剛體。當一個大結構上安裝一個小塊體時，這個小塊體可以認為是剛體。
彈簧-質量模型
由於剛體不發生變形，因此，剛體有6個自由度：三個平動和三個轉動。平動時，剛體上任意一條直線始終平行於它們初始的位置。轉動時，剛體內各質元繞同一直線做圓周運動。剛體任何複雜的運動，都是這兩種基本運動的疊加。如下圖所示為常規的平動和轉動，以及兩種運動疊加的剛體運動。
a.剛體平動
圍繞幾何中心的剛體運動
不圍繞幾何中心的剛體運動
與剛體相對應的是彈性體，也稱為柔性體。剛體是理想模型，實際物體受外力作用時，形狀或多或少會發生變化。若外力不是很大時，物體的變形也不大，去掉外力後，物體能完全恢復到原來的形狀，則稱這樣的物體為彈性體，相應的變形稱為彈性變形。
剛體有6個自由度，而彈性體可以認為有無窮多個自由度。因此，剛體只有6種運動形式，但彈性體有多種彈性變形運動形式。我先暫且將發生彈性變形的運動方式稱為彈性運動，與剛體運動相對應。很多情況下，如果運動過程中，結構沒有發生變形，哪怕結構是彈性體，我們也稱之為剛體運動。因此，對於自由邊界的結構（彈性體），有可能會發生剛體運動、彈性運動或者是二者的組合。
2. 剛體模態和彈性模態
剛體模態跟剛體運動定義相似，結構內部不發生變形的模態振型即為剛體模態，即剛體運動對應剛體模態。如下圖所示，左圖為梁的一階剛體模態，右圖為平板的一階剛體模態。二維自由梁結構的剛體模態與上圖中的剛體運動相同。
彈性運動對應彈性模態，彈性模態產生時，結構內部發生變形。如下圖所示，左圖為自由梁結構的一階彈性模態，右圖為自由平板的一階彈性模態。
3. 自由邊界與約束邊界的區別
對於一個真正的自由-自由系統而言，意味著這個系統與大地沒有任何約束，它完全自由地懸浮在空中。但在現實世界中，不可能使系統完全懸浮在空中，因此，需要使用某種機制來實現自由邊界。目前，用於模擬自由邊界的方法主要有：橡皮繩懸掛，但要求橡皮繩足夠長、足夠柔；海綿墊支承；氣囊支承；橡膠墊支承；空氣彈簧支承；軟彈性支承或懸掛等。Peter Avitabile教授甚至用棉花糖或馬桶吸盤來支承待測結構用於模擬自由邊界條件。如下所示，左圖白色為棉花糖，右圖黑色為馬桶吸盤。
對於約束邊界條件，又可能分兩類，一類是結構處於實際的裝配狀態，另一類是通過夾具實現約束邊界。如下圖的模態測試則是通過夾具來實現約束邊界的。
現實世界中的試驗，沒有真正的自由邊界條件，因此，需要通過一些柔性支承來模擬自由邊界條件。這時，結構和柔性支承組成的系統存在剛體模態。由於支承剛度不為0，因此，系統的剛體模態頻率不為0，可能是幾赫茲，或者更大，視柔性支承的剛度而定。
在這通過一個實例來說明，自由邊界與約束邊界的區別。考慮一根等截面，質量均勻分布的梁。首先，讓我們來描述這根平面梁的前幾階模態。下圖展示了前四階模態，注意到前兩階模態是剛體模態，後兩階模態是系統的彈性模態（1彎和2彎）。注意到第1階模態是上下運動的沉浮模態，第2階模態是圍繞樑幾何中心的轉動模態。這是完全自由梁結構的自由-自由模態。
由於考慮到梁不能懸浮在空間不受約束，所以在梁兩端使用彈簧支承。如果我們讓彈簧剛度範圍從接近零的狀態上升到剛度非常大的狀態，甚至接近完全約束狀態，這個示意過程如下圖所示。
梁的彈性支承
現在我們僅考慮第1階模態隨梁端部彈簧剛度的增加的變化。考慮隨著彈簧剛度的增加，梁的這階模態將發生怎樣的變化。下圖展示了梁的這階模態振型變化，從頂部到底部彈簧剛度逐漸增加。
第1個振型圖是自由狀態的第1階剛體模態振型。因此，當我們增加梁端部的彈簧剛度時，梁的固有頻率將向上移動，因為剛度增加了，這與我們的預期一樣。因此，如果剛度增大一點點，模態振型可能變化不那麼明顯。我們注意到第二個振型圖中的振型仍然與剛體模態很相似，但是已經有了輕微的彎曲。隨著剛度的增加，注意到第三個振型圖看起來不像完美的剛體模態了，振型的彎曲更大，更像系統的第1階彈性模態。等到再增大剛度，第四和第五個振型圖已經完全不再像剛體模態了，此時，模態振型本質上真的像彈性模態，還是帶有小許剛體運動。直止剛度無限增大，模態振型完全成為了彈性模態（第五個振型），完全沒在剛體運動存在。此時，梁的邊界條件也就變為了完全固支的約束邊界。
從上面可以看出，有些情況下，結構雖然受約束，但是是彈性約束，結構與約束件之間還存在相對位移，這時，系統也會存在剛體模態，如動力總成剛體模態就屬於這種情況。
因此，自由邊界和約束邊界的最大區別在於：自由邊界不僅有剛體模態，還有彈性模態；完全固支的約束邊界只有彈性模態。很多時候，由於結構的振動雜訊產生的根源都與彈性模態相關，因此，人們經常忽略剛體模態。
4. 自由邊界與約束邊界的聯繫
實際測量時，試件應儘可能的接近實際工作狀態的邊界條件。但現實中由於某些零部件可能在實際邊界條件下無法進行測量，或者基於其他一些原因，工程上很多時候在自由邊界條件下進行測試。
同一個試件，不同的邊界條件下，模態振型之間存在一定的關係。改變試件的邊界條件，實質是對結構進行了動力學修改（SDM），而我們知道對同一結構進行動力學修改後的結構最終模態振型是修改前原始結構模態振型的線性組合。例如，使用自由梁的前五階模態，就獲得了簡支梁非常精確的修改後的模態振型。如下面兩圖所示，簡支梁的第1階彈性模態可由自由梁的第1階剛體模態和第1階彈性模態組合得到；簡支梁的第2階彈性模態可由自由梁的第2階剛體模態和第2階彈性模態組合得到。
當然不是所有的試件都能用修改前的模態疊加得到，前提是最終修改後的模態必須能夠由修改前的模態的線性組合得到。如果能做到這一點，那麼可以得到準確的結果；如果不能，那麼由於模態截斷的原因將會產生誤差。
5.邊界支承剛度要求
自由邊界和約束邊界理論上容易實現，但現實中實現起來卻有困難。由於用於自由邊界的懸掛或支承系統不可能剛度為零，用於約束邊界的夾具系統不可能剛度無窮大，因此，試驗條件下不可能做到完全自由和完全約束（固支）。
對於自由邊界，要求實際支承的最高剛體頻率小於結構最低的彈性頻率，即可減少懸掛系統對結構模態的影響，實現模擬近似自由的邊界條件。因此對於低頻模態實現自由邊界很困難，但是對於高頻模態實現自由邊界很容易。
如模擬自由邊界條件，要求剛體頻率是第1階彈性體頻率是的1/10~1/5倍。如果不滿足此要求，應考慮更換剛度更小的支承系統。
從這可以看出邊界條件對試驗有顯著影響，特別是輕質結構。因此，採集到的數據必須進行檢查，以確定因不同的測試設置邊界條件引起頻率和模態振型將怎樣變化。可能模態振型是感興趣的參數，其差異並不大，但對於處於評估狀態的設計而言，頻率可能是個敏感參數，這嚴重依賴於實際應用。因此，這時該怎樣做呢？
如果有分析模型可用，那麼研究不同邊界條件下的頻率和振型的影響是件非常容易的工作。這樣的分析可在實際測試之前進行，如果有任何影響，那麼就可以觀測到。這樣一來，有關模態特徵的預期變化就可做一些估計，通過分析可以確定這些模態特徵的變化可能怎樣影響系統的最終響應。如果影響顯著，那麼就需要仔細評估支承條件的影響。但是如果系統響應結果差異不大，那麼可以認為測試支承條件的影響不是關鍵因素。但是需要有人去做這樣的評估。不能單單使用經驗方法，必須做更深入地評估。
如果沒有分析模型可用，那麼需要你自己評估你的支承系統是否滿足了測試要求，對測試結果有無明顯影響，或者影響有多大。需要記住的是測試支承剛度的改變必然對所有頻率有影響。如果增加剛度，頻率必然變大，問題是頻率變化有多大、是否影響嚴重，需要你來做評估。
註：可惜動圖都動不起來！知乎有待改進這一點！
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END
擴展閱讀
1.什麼是模態分析？(上)
2.什麼是模態分析？(下)
3.什麼是模態參考點？
4.什麼是頻響函數FRF（一）？
5.什麼是頻響函數FRF（二）？
6.細說模態分析四大基本假設
7.試驗模態測試分析一般流程
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