［博弈論］2.混合策略

"Outside of Las Vegas we do not spin roulettes" -----Ariel Rubinstein (Econometrica 1991)

混合策略在博弈論中佔有很重要的地位，主要在於：

1.混合策略保證了納什均衡的存在性。我們無法保證對於每個game都會存在純策略納什均衡，但是如果考慮包括混合策略，那麼所有finite game都是一定存在納什均衡的。（主要是因為允許混合策略保證了策略空間是凸的所以才能用Kakutani』s fixed point theorem）

2.很多重要的或者有意思的game只存在混合策略納什均衡。比如說common value all-pay auction，asymmetric Bertrand Duopoly中唯一的均衡是混合策略均衡。

混合策略是一個用起來順手，但是解釋起來非常麻煩的一個東西。一個player選擇混合某兩個策略A、B的前提是他對於選擇A或者B無差異。最傳統的解釋是player既然無差異，那麼就可以拋個骰子來決定選擇哪個純策略均衡，這種隨機性就構成了一個「混合」策略。所以混合策略均衡對應的就是這個骰子的概率需要是多少來保證這是一個均衡（比如說石頭剪刀布中唯一的混合策略就是兩個人都以1/3的概率分別選擇石頭、剪刀和布，這樣才能保證沒有人有偏離動機。）

但是，現實中幾乎沒有人會在indifferent的時候去拋個硬幣（0.5,0.5混的時候還可以拋硬幣，要是0.9763和0.0237你告訴我怎麼混）再來決定選哪個策略。既然無差異，那為什麼不隨便以1的概率選擇一個呢？

一個更「合理」的解釋是：事實上我們並不需要player確實選擇了混合策略，只需要在別的player眼中看起來選擇了混合策略就夠了。

［例子來自Kartik的Notes］假設某次NBA騎士VS勇士，比賽最後10秒鐘勇士落後2分，勇士教練喊了暫停布置戰術。有兩種可能的戰術，投兩分或者投三分。假設勇士教練會布置哪個戰術取決於今天上午訓練的時候庫里的三分命中率，所以這對勇士來說是確定的並非隨機的。騎士主教練要布置戰術防兩分或者三分，但是對於他來說，他並不知道庫里今天上午訓練的三分命中率，所以勇士會打三分還是兩分對他來說是隨機的。所以當我們考慮勇士進攻的「混合」策略時，其實是在考慮騎士「覺得」勇士分別會有多大概率選擇三分和兩分。

這個解釋的idea隱含著把這個完全信息博弈看成了一個不完全信息博弈。具體的邏輯是一個完全信息博弈中的混合策略，可以被解釋成這個game受到微小的擾動變成不完全信息博弈中的一個純策略Bayesian Nash Equilirbium。盜自Xiang Sun lecture notes中的圖示：

Navin Kartik, Game Theory Notes.

Xiang Sun, Game Theory Notes.

Rubinstein, Ariel. "Comments on the interpretation of game theory." Econometrica: Journal of the Econometric Society (1991): 909-924.

Harsanyi, John C. "Games with randomly disturbed payoffs: A new rationale for mixed-strategy equilibrium points." International Journal of Game Theory2.1 (1973): 1-23.

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