關於古典微分幾何

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古典微分幾何主要研究 $R^3$ 中的曲線和曲面，可以說這部分內容相對來說是比較「雞肋」的。或許，學習它的最大作用就是能夠更直觀的理解今後微分幾何中的一些概念吧。

從應用的角度看，由於歷史進程等相關原因，古典微分幾何在物理學中的存在感非常低，低到我們就算一直在用它的時候也很少有人能察覺到它的存在，除非你之前就接觸過它。

鑒於此，我不打算把這部分內容完整的梳理總結一遍（當然主要是因為懶），這次我們僅僅結合應用來看一下其中的一小部分內容。

第一部分：曲線論與質點運動學

許多理論力學教材一開始都會介紹所謂的「質點運動」學，質點運動學與曲線論的關係，就好像偽黎曼幾何和廣義相對論的關係一樣。可以說，整個質點運動學就是在曲線論的框架下敘述的。但是，正如我們前面所說，如果你不知道它的存在，你只會認為：「我們在應用微積分來討論力學問題」。

1，曲線的概念：

$R^3$ 中的一條曲線，即映射： $C:Irightarrow R^3$ ， $Isubseteq R$ 。在 $R^3$ 中選取平面直角坐標系，我們可以將 $C^r$ 曲線表示為： $x=x(t);y=y(t);z=z(t)$ ，這就是曲線的參數方程。例如,橢圓的參數方程為： $x(t)=acost;y(t)=bsint$ 。當然我們也可以把它寫成向量函數的形式，即： $vec{r}=vec{r}(t)$ 。在質點運動學中，矢量 $vec{r}$ 即代表質點的實位移。

在研究幾何問題時，我們通常選取弧長 $s$ 作為曲線的參數。也就是所謂的自然參數。從運動學的角度看，選取自然參數就相當於：質點以恆定速率沿著曲線運動，且質點的速率 $left| vec{v} right|=1$ 。

2，切矢，曲率，與撓率：

（1）切矢：有了曲線的基本概念之後，我們可以進一步的去研究曲線的性質。首先，我們可以得到曲線的切矢： $vec{v}=frac{dvec{r}}{dt}$ ，它在質點運動學中的物理意義是曲線的速度矢量，用來描述質點運動的快慢。當我們選取自然參數時，可以得到曲線的單位切向量： $alpha =frac{dvec{r}}{ds}$ ， $left| vec{alpha } right| =1$ 。

（2）曲率：為了表示曲線彎曲的程度，我們可以引入曲線曲率的概念，來描述曲線彎曲的程度。

曲率定義為： $k(s)=lim_{triangle s rightarrow 0}{left| frac{triangle theta }{triangle s} right| }$ ，容易看出， $k(s)=left|frac{ dvec{alpha } }{ds}right| =left| frac{d^{2}vec{r}}{ds^2} right|$ 。可見，其幾何意義是切矢關於弧長的旋轉速度，其物理意義即是在質點做速率不變的運動時，其加速度的大小。由此，我們還可以定義曲線的主法向量，即和加速度方向一致的單位向量 $vec{beta }$ 。

（3）撓率：切矢 $vec{alpha }$ 與主法向量 $vec{beta }$ 所構成的平面稱為：密切平面。假設我們所考慮的曲線僅僅在二維平面內，那麼密切平面就是曲線所在平面。但是，如果我們考慮的是三維空間中的曲線，這時候曲線經常會「拐出」密切平面，我們就需要找到一個幾何量來描述它，這就是撓率。它反映了曲線扭轉的程度。

先定義曲線的副法向量為： $vec{gamma}=vec{alpha }times vec{beta }$ ，式中這三個向量稱為曲線的基本向量。其中 $vec{alpha }$ 和 $vec{beta }$ 確定的平面即為密切平面； $vec{beta }$ 和 $vec{gamma }$ 確定的平面為法平面； $vec{alpha }$ 和 $vec{gamma }$ 確定的平面稱為曲線的從切平面。它們所滿足的方程這裡就不展開寫了，任何一本古典微分幾何教材中都可以找到。

下面，可以開始定義撓率了。先考慮式： $left| frac{dvec{gamma }}{ds} right| =lim_{triangle s rightarrow 0}{ left| frac{triangle phi }{triangle s} right| }$ ，其幾何意義是副法向量對於弧長的旋轉速度。由此我們可以定義撓率為： $tau (s)=pm left| frac{dvec{gamma }}{ds} right|$ ， $frac{dvec{gamma }}{ds}$ 和 $beta$ 同向取負號，反之取正號。

3，關於質點運動學：

實際上，對於曲線論中的曲線而言，選取自然參數，只要給定了 $s=s_0$ ，曲率 $k=k(s)$ ，撓率 $tau =tau (s)$ ，空間中的一條曲線就完全確定了，這就是空間曲線論的基本定理。而曲線的曲率和撓率僅僅與曲線本身有關，與曲線怎樣參數化（質點運動快慢），坐標怎樣選取沒有任何的關係。

對於質點運動學，我們關係的不是作為質點軌跡的曲線的性質，我們關心的是質點的運動情況。所以，在質點運動學中，我們是通過確定 $vec{r}=vec{r}(t)$ 來確定質點運動情況的，給定了它，關於質點運動的信息也就完全確定了。物理上，為了方便解決問題，我們通常會選取不同的坐標系來處理問題。對於質點運動學也是如此，例如，在極坐標下：

速度的分量表達式為： $v_r=dot{r}$ ； $v_theta =rdot{theta }$ 。

加速度的分量表達式為： $a_r=ddot{r}-rdot{theta }^{2}$ ； $a_theta =frac{1}{r}frac{d}{dt}(r^{2}dot{theta })$ 。

對於質點動力學，本質上就是將 $vec{F}=mvec{a}$ 展開在不同坐標系下，然後對微分方程進行求解。在有心力場問題中（ $vec{F}=vec{F}(vec{r})$ ），選取極坐標是非常方便的，通過求解微分方程我們就可以得到運動曲線的方程。但實際上，我們也可以直接利用比耐公式求解質點的軌跡。

第二部分：關於高斯絕妙定理

在曲面論中，我們可以刻畫 $R^3$ 中正則參數曲面的形狀，為此，我們引入了曲面的第一基本形式和第二基本形式。具體來說：

第一基本形式，即： $I=dvec{r}cdot dvec{r}$ ，是曲面上切矢長度的平方。

第二基本形式，即： $Pi =d^{2}vec{r}cdot vec{n}$ ，描述了曲線上任意鄰近點到該點切平面的距離。

曲線沿 $dvec{r}$ 方向的法曲率，即為： $kappa _n=frac{Pi }{I}$ ，曲面上一點兩個彼此垂直的切矢，法曲率可以取到最大值和最小值，這兩個方向就是曲面在該點的主方向，相應的法曲率即為曲面的主曲率。而高斯曲率 $K$ ，即為兩個主曲率的乘積，即： $K=kappa _1kappa _2$ ，它可以藉助曲面的第一基本形式和第二基本形式來計算。

高斯絕妙定理告訴我們，高斯曲率 $K$ 僅僅依賴第一基本形式，與第二基本形式沒有任何關係。對於曲面，我們可以把第一基本形式寫為： $I=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ ，可見高斯曲率僅僅由曲面的正定對稱度規決定。由此可見，高斯曲率刻畫了曲面的內蘊性質，不論曲面的「形狀」如何，它僅僅與二維流形上的度規張量場有關。

第三部分：關於Gauss-Bonnet公式

在平面內，三角形的內角和是180度，這個結論在 $R^3$ 中的曲面上又會怎樣呢？這就是我們需要考慮的問題。

對於曲面 $S$ ，我們用其上 $k$ 條光滑線段圍成一個多邊形，由此構成了一個單連通區域 $D$ ，其邊界為 $C$ 。假如 $k$ 個光滑曲線構成的內角度數分別為： $alpha _i(i=1,2...,k)$ ，那麼我們可以推出如下公式： $int_{D}^{}KdA +oint_{C}^{}K_g ds+sum_{i=1}^{k}{(pi -alpha _i)} =2pi$ ，其中 $K$ 為曲面的高斯曲率， $K_g$ 是測地曲率。這就是Gauss-Bonnet公式。

對於平面三角形而言， $K=K_g=0$ ，我們可以得到： $sum_{i=1}^{3}{alpha _i}=pi$ 。

而對於曲面上的測地線，即測地曲率處處為零的曲線，可以得到： $int_{D}^{}KdA+sum_{i=1}^{k}{(pi -alpha _i)} =2pi$ ，考慮由三條測地線圍成的區域，則有：

$sum_{i=1}^{3}{alpha _i}=pi +int_{D}^{}KdA$ ，這就是我們日常生活中經常聽到的，所謂：「曲面上三角形內角和通常不等於一百八十度」。

由此出發，我們還可以考慮所謂的閉曲面上的Gauss-Bonnet定理。考慮 $R^3$ 中的一個二維閉曲面 $M$ ，我們可以把 $M$ 分為 $n$ 個曲面多角形 $D_i(i=1,2...,n)$ ，相應的邊界為 $C_i$ 。對於給定的閉曲面，我們用 $V$ ， $E$ ，和 $F$ 表示上述的定點數，邊數，和面數。那麼，根據上面的公式結合閉曲面的性質可以得到： $oint_{M}^{}KdA=2pi (V-E+F)=2pi chi (M)$ ，其中 $chi (M)$ 即為 $M$ 的歐拉示性數。以球面為例， $chi (S^2)=frac{1}{2pi } oint_{M}^{}KdA=frac{4pi }{2pi } =2$ 。歐拉示性數作為一個整體的拓撲不變數，高斯曲率則是局部的連續的不變數，Gauss-Bonnet定理將他們聯繫了起來。