[博弈論]1.納什均衡與理性化集

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［本專欄內容為作者自身對知識的理解筆記，歡迎意見和建議，作者對所有錯誤負責。］

主流的微觀經濟學大致可以分為兩塊，decision theory（決策理論）和 game theory （博弈論），基本的假設都是人是理性的。Decision theory 關注的是理性人［在只用考慮自己的決策中］如何最大化自己的效用，自然而然這裡的solution concept就是最大化效用的那個choice或者說「strategy」。而在game theory中，有趣的一點在於每個人的payoff［不僅與自己的選擇有關，還與其他人的選擇有關］。那麼問題在於game的「解」（solution concept）是什麼？

舉個簡單的例子decision theory就像有蘋果梨子和香蕉三個選擇供你挑選其中之一。很顯然，這個問題的「解」就是，挑一個你最喜歡吃的。而game theory就像，兩個人在玩石頭剪刀布，輸的人要付給贏的人一塊錢。這個時候的「解」怎麼辦呢？我們沒辦法像選擇蘋果梨子香蕉一樣選一個最「好」的，因為這裡的「好」與「不好」不僅取決於你選了什麼，還取決於其他人選了什麼。比如當別人選剪刀的時候，你選石頭是最好的；但當別人選布的時候，你選石頭便成了最差的。

那麼一個game 的「解」應該是怎麼樣的呢？在不同的情境中，game theorists給出了各種各樣不同的「解」的概念（集中在20世紀80年代出現了各種各樣的solution concept），其目的都是為了model理性人在一個game里究竟應該如何決策才是合理的。在這裡先介紹兩個最廣泛應用也便於理解的solusion concept：納什均衡和理性化集。

納什均衡：納什均衡的含義是給定每個人選擇的策略，沒有人會偏離。（可以理解為第三方給出一個推薦的strategy profile，然後每個player都會接受。）

納什均衡的優點在於它確切的給出了某個strategy profile，並且保證了每個finite game都存在至少一個納什均衡。然而這有個缺陷在於，並沒有提及為什麼人們會選擇這個策略。這個問題在有多重均衡的時候尤為致命，有多個均衡的時候，人們應該選擇哪一個呢？

理性化集：理性化集假設的是每個player的「理性」是common knowledge。也就是說可以通過對於理性的common knowledge來移除那些never best response的策略。重複進行刪除never best response的策略直到無法刪除後，便會得到一個理性化集（非空）。

理性化集的優點在於，給出了得出這個solution的「路徑」，但缺陷在於，得到的理性化集極有可能是個很大的集合，並不像Nash均衡一樣給出某個精準的strategy profile。

納什均衡與理性化集的關係：任何一個納什均衡的support（意思是如果是混合策略均衡，組成這個混合策略的純策略）一定屬於理性化集合；當理性化集degenerate成為一個單點時，這個strategy profile就是唯一的納什均衡。