二四法則和所羅門法則的簡單數學分析

二四法則和所羅門法則的簡單數學分析

2017.2.18

一、二四法則和所羅門法則的簡單介紹

德州撲克中的「二四法則」和「所羅門法則」都是用來計算成牌概率的，二者的計算規則如下：

假設出牌（Outs）數量是X（基礎分析不考慮對手的手牌和Redraw的情況，下同），則：

A、二四法則：

1條街的成牌概率約=X*2*1%；

2條街的成牌概率約=X*4*1%；

B、所羅門法則是對二四法則的修正，一條街的情況和二四法則沒區別，兩條街的時候當Outs數目大於或等於9的時候，要在二四法則基礎上加一個修正項，為：

2條街的成牌概率約=(X*4-(X-8))*1%

（由於錄入方便性和網頁演示問題，文中所有公式用Excel中公式格式展示）

舉個例子：

翻牌抽同花Outs的數量=9，則用二四法則計算到河牌2條街的成牌概率=9*4*1%=36%；而用所羅門法則計算=(9*4-(9-8))*1%=35%——這裡兩個公式差異不大；

翻牌抽兩頭同花順Outs的數量=15，則用二四法則計算到河牌2條街的成牌概率=15*4*1%=60%；而用所羅門法則計算=(15*4-(15-8))*1%=53%——這裡兩個公式差異就明顯起來，所羅門法則明顯更接近實際成牌概率。

二、進一步量化討論二四法則和所羅門法則和實際成牌概率差異多大，適用的情況如何

將使用二四法則計算的成牌概率和實際概率差異用圖表表示如下，其中兩條街的實際成牌概率使用了高中數學中簡單的排列組合知識：

1、考慮一條街的情況下，二四法則計算成牌概率和實際的差異假設為Y，Y和Ous數量X是一階線性關係，其中二四法則算出的概率會比實際概率小一點點。

翻牌未發出牌為47張：

Y=X*-0.13%，當Outs不大於9的時候，翻牌用二四法則計算下一條街成牌概率的與實際差異不超過1.2%；

轉牌未發出牌為46張：

Y=X*-0.17%，當Outs不大於7的時候，轉牌用二四法則計算下一條街成牌概率的與實際差異不超過1.2%。

2、考慮兩條街的情況下，二四法則計算成牌概率和實際的差異假設為Y，這時Y是Outs數量X的二階函數，Y=X*(0.046%X-0.30%)，函數的圖形是下圖中的紅色折線：

我們可以看出，上圖中

當X大於等於1且小於等於8的時候，Y的絕對值不超過1.2%（實際不超過0.56%）；

當X大於等於9的時候，函數Y隨著X增大迅速增加。

那麼我們怎麼來解決二四法則公式當X大於等於9的時候差異過大的問題呢？

這裡就引入了所羅門法則所增加的修正項(X-8)*1%——當X大於等於9的時候，Y』=(X-8)*1%就是傾斜向上的藍色折線這一段；

而Y-Y』的絕對值，即圖中直觀看紅折線和藍折線之間縱坐標差值，就是使用所羅門法則計算成牌概率和實際概率之間的差異。這個差異非常小，當X大於等於9，且小於等於21的時候，Y-Y』的絕對值不超過1.2%（實際不超過1.06%）

而除了一些奇葩的場景，翻牌Outs=21基本可以看做抽牌一方Outs最多的場景了，比如花順雙抽兩高張vs頂對=KsQs vs Jc8c @Flop=JsTs2h。

因此我們可以看到所羅門法則在實際使用中覆蓋面非常好。

三、總結

計算成牌概率時，當Outs數量在[1,8]區間的時候，我們使用二四法則；當Outs數量在[9,21]區間的時候，我們用所羅門法則。這樣簡化計算和實際的誤差很小，通常不超過1.2%。