二項式展開

01-28

$(a+b)^n$ 如何展開？

這個問題三百多年前就已經被牛頓解決了（當然他解決的是更加複雜的情況，包括n為分數）。生活在二十一世紀的你，有理由不會嗎？

我們首先將式子寫成比較整齊的形式，然後暗中觀察一下。

$(a+b)n(a+b)nvdotsn(a+b)$

我們可以說，我們首先在第一行的a和b中挑選一個數，然後在第二行的a和b中挑選一個數，然後在第三行……最後，在最後一行挑選一個數，然後將這些數乘起來，這就是結果中的一個項。

為了清晰，我們將每個項寫出來，比如這麼一個項：

$a^{n-1}b=aaacdots ab$

我們發現，等號右邊的形式很熟悉，於是，我們將a換成0，將b換成1，成為

$000cdots 01$

很顯然，這等於二進位中的1.

為了所有項不重複，不遺漏，我們排個序吧。

$000cdots000n000cdots001n000cdots010n000cdots011nvdotsn111cdots111n$

好吧，到這裡，我承認和二進位其實沒什麼關係。我們觀察一下，如果我們將所有隻包含2個1的模式取出來，數出來一共有 $N_2$ 個，則最後的結果中，一定有一項是：

$N_2a^{n-2}b^2$

那麼 $N_2$ 是多少呢？很顯然等於 $C_n^2$ ，也就是在n個位置中挑選2個位置放置1的可能性的個數。

於是，我們得到

$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+cdots+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^nb^n$
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