【樂理101】3. 十二，一個神秘數字引發的革命

01-28

本期知識點：

1. 十二平均律是將八度等比例地劃分為十二個音的定律方式。平均律中的音的音高頻率與純律和五度相生律得到的音高尤為近似，因此聽感上能夠被人耳接受。

2. 由於平均律中，相鄰音高之間倍數是固定不變的，因此在轉調上特別容易，只需將整體音高平移幾個音程即可。純律和五度相生律則不行。所以現代音樂多以十二平均律定調。

3. 由於等比的倍數關係，我們可以把音程的比例關係轉化成整數關係，以半音程為最小單位刻度來衡量音程距離。

4. 音程常用單位有半音，全音，以及度。兩個半音程組成全音。而多個半音可以組成不同的度數，用度數來討論比較大的音程相比用半音程更加方便。

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人們介紹巴赫時，除了提到他是巴洛克時期的頂峰人物，一生「多產」之外（不光是作品多，而且他有二十個孩子），常常會帶出一個音樂名詞叫十二平均律。平均律的誕生在音樂史上意義重大，它是歐洲音樂擺脫中世紀中古調式，走向現代音樂中能夠隨意變調的一把鑰匙。你能想像在平均律之前，每一種曲調的調音都不同，樂曲想轉一個調是多費周章的一項工程嗎？同樣，平均律對中國人來說也是可以和四大發明一樣，令國人自豪的一個創造。歷史上記載十二平均律的推算者是明朝的朱載堉。不同於圓周率等其他中國早期數學發現，朱載堉在平均律的創始人地位是在世界上被公認的。怎麼樣，你是不是對十二平均律感到好奇了呢？今天就來為你揭開十二平均律的奧秘。

上兩節課，我們普及了八度、五度和三度這三個存在簡單整數倍關係的音程，以及由這些音程推演出來的純律和五度相生律。在文末講到，純律和五度相生律並不完美，八度中並不是每一個唱名之間的音程都是協和的，因此需要探索一種更優的解決手法。

現在我們知道，想要在八度中定出一個讓Do Re Mi Fa Sol La Ti都感到開心的音程和音律，曾經是多麼令音樂家困擾的事情。好在，十二平均律出來拯救世界了！

1.什麼是十二平均律

十二平均律，或平均律, 是將八度的二倍音程等比例地劃分為十二份的定律方式。它讓每一個臨近的音在音程上都是同樣的倍數關係。這每一個音和主音Do[1]組成的音程的倍數關係分別是 $2^{n/12 }$ ， $n$ =0到12。（當 $n$ =12，倍數正好是二倍即純八度，它對應的音名和當 $n$ =0時純一度上的音是一樣的。所以去掉12，從0數到11正好產生十二個不一樣的音名。）這十二個音中恰好有七個音，在音高倍數關係上和純律及五度相生律中的Do Re Mi Fa Sol La Ti極為接近。以至於如果我們用十二平均律來定義音程的話，並不會覺得詭異。這些倍數關係分別是：

上圖比較了在三種不同音律定義下，每個音在音高上的差異。我們發現十二平均律這個人工產物生成的音程竟然和五度相生律以及純律里有自然倍數關係的音程是那麼的接近，怪不得耳朵不會聽著覺得古怪！

平均律雖然輕微地犧牲了遵循簡單整數倍這個讓音程聽著協和的自然規律，使每個音都稍稍變得不純，但卻換得了極大的好處。首先，它使得音程不再會在協和音程上出現不協和的問題。平均律的純五度倍數是 $2^{7/12} =1.498$ ，非常接近純律中的 $frac{3}{2}$ ，誤差只有0.1%。相比上一篇文章中純律里出現過的 $frac{40}{27}$ 倍音程和1.23%的誤差，要小了十倍。不過，平均律的大三度和純律差異稍大，但仍舊優於五度相生律。

其次，平均律保證了音程倍數關係永遠是固定值。比如說，從Do[1]到Re[2]之間是大二度關係，音高比例為 $2_{}^{2/12 }approx 1.122$ 。而Re[2]到Mi[3]，以及Fa[4]到Sol[5]，這兩組音之間同樣是大二度關係，他們的各自的比例也是 $2_{}^{2/12 }$ ，倍數沒有發生改變。而這在純律上是做不到的。根據上一節課後練習第四題，我們知道純律中Re[2]和Mi[3]之間的音程是 $frac{10}{9} approx 1.111$ 倍的關係，與Do[1]到Re[2]的 $frac{9}{8} = 1.125$ 倍就略有不同。

不僅大二度是這樣，在平均律中，任何相同的音程度數都不會隨著音高的升降而改變。將調裡面的所有組成音都升高或降低幾度時，調內音程的倍數關係是不會更改的。因此，使用平均律的樂器可以輕鬆地完成轉調的工作，而不需要每次為不同的調來調整音高的設置了。（調是什麼，怎麼理解轉調，我們會在第六課詳述。）

由於它的實用性，平均律的誕生席捲了一場音律革命，把純律和五度相生律等等都趕進了角落裡。可為什麼古人會想到把八度劃分成十二等分呢？由五度相生律推算出的第十二個音，它和起始音高的音程約為兩倍。而二倍即一八度。可能就是這個原因，使得當時的人們想到通過把十二個音進行細微的調整來構建八度了。

十二真是個神奇的數字！談起十二這個數字時，我們還會想到什麼？一年有十二個月份，一英尺有十二個英寸，一個鐘錶有十二個刻度。這或許是上帝的神來一筆，或許一切都只是巧合。但無論如何，由十二這個數字推算出來的平均律特別好用。

2. 半音、全音與度數

現在到了見證奇蹟的時刻！正因為十二平均律的等比關係使音階變得「平均」，我們從此再也不需要用倍數去演算音程了，而是改為直接用整數刻度來衡量音程的「距離」。我們把平均律的十二個音中，相鄰的兩個音之間的音程距離（ $2^{1/12 }$ 倍）叫做半音程，簡稱半音。半音是現代音樂中衡量音程的最小刻度。就好像一把尺子上的刻度一樣，一個半音就像是1cm這個刻度，而一個八度的距離是12個刻度也就是12個半音。因此，我們可以重新定義八度，八度就是相差十二個半音的音之間的音程。同樣，五度的定義就是七個半音程。以此類推。從此，我們在音樂上只需要用小學數學的加減法，就能解釋一切樂理了！

（給理工科人的解釋：我們通過把音程倍數取 $log_{2}$ ，將音高頻率間的指數關係轉化成了線性關係）

知道了半音這個音程概念，我們可以將之前所有的音以半音為刻度來度量。比如說Do[1]到Re[2]之間的大二度，是由兩個半音組成的。Do[1]到Sol[5]之間的純五度，是由七個半音組成的。Mi[3]到Ti[7]之間差了11減4也是七個半音，因此它們之間也是純五度的關係。

比半音大一點的單位叫全音程或全音，全音是由兩個半音程疊加組成的，等價於大二度。仔細的朋友已經發現，Do[1] Re Mi Fa Sol La Ti Do[8]相鄰兩個音之間音程只有兩種關係，一種是全音，一種是半音。Mi[3]到Fa[4]以及Ti[7] Do[8]之間都是半音，而剩下相鄰音之間則都是全音。（請務必牢記這個規律！）因此，有些情況用全音與半音一起描述音程比直接用半音來得更便捷。

另外一種討論音程的單位是度，度用來描述比半音和全音要大的音程時更加方便。純五度，大三度，這些都是度數。（具體度數名稱下一講會細談）如果說半音是「厘米」的話，全音的作用就有點像大一些的「分米」，那度數就相當於「米」了。當然在一些的音樂中存在「毫米」的概念，這樣的音樂叫「微分音音樂」，但是我們在這就不做討論了。

總結一下今天這一講。我們首先介紹了十二平均律，這個發現解決了現代音樂中轉調上的困難。然後，我們學習了如何拋開音程比例關係，轉而使用抽象出來的「半音程」作為「長度」單位來衡量音程之間的「距離」。現在經過了前兩講的鋪墊，你應該對半音音程這個刻度在數學上有了比一般人更深入的體會了吧？它是我們用來壘起音樂大廈的一塊塊磚頭。

在八度的十二個音中，我們只定義了Do Re Mi Fa Sol La Ti七個音，剩下還有五個音是什麼呢？ 下一講，我們會正式地命名由十二平均律發展出的十二個音和十二個音程，並讓你理解英文字母ABCDEFG在音樂中的作用，以及「大」「小」「純」「增」「減」都是什麼意思。

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P.S.

1. 這篇文章看完之後，除了可以嘗試課後練習之外，強烈推薦大家點擊下方鏈接進入音頻演示區，用音頻來直觀地體驗一下八度中每一個音程的協和與不協和感。你可以將它們與純律表中的音程的音高倍數作對照，親自感受倍數的簡單程度與音程的協和性的關係。這對將來的學習大有幫助。切記，學習音樂，不能只學習樂理，同時也需要訓練你的耳朵，聽懂音樂，記住音樂，創造音樂。不然就淪為了紙上談兵。

鏈接：【樂理101】3+. 平均律中的協和與不協和音程（上）

2. 巴赫當時使用的並不一定是平均律（Equal Temperament），而是和平均律一樣便於轉調的律制：優良律（Well Temperament）。平均律擁有均等的半音程，而優良律並不一定需要，定義更為寬泛。因此平均律可以理解為是優良律當中的一個特例。（「優良律」是我自己翻譯的，這個詞之前在國內被翻譯成平均律，容易造成混淆）

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課後練習：

Q1. 挑選2-7裡面任意一個數字，立即反應出 a) 這個數字代表的唱名， b) 它上面一個音的唱名以及它們之間是全音還是半音 c.) 它的下方那個音的唱名和它們之間是全音還是半音。此訓練目的是幫助牢記Mi[3]和Fa[4]，還有Ti[7]和Do[8]之間是半音程關係，而其他則是全音程。

比如：數字4，唱名是Fa。上面一個音是Sol[5]，Sol比Fa高一個全音。下面一個音是Mi[3]，Mi比Fa低半音。

Q2. Fa到La有幾個半音，他們之間是幾度關係？Re和La呢？Fa和高音Mi[10]呢？

Q3. 比Do高100個半音的音，理論上是哪個唱名？

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上期答案：

Q1: Do[1]的 $frac{5}{2}$ 倍音高是高八度的哪個音，它的唱名是？那6倍音高呢，6倍音高和3倍音高之間是什麼度數關係？

A1: Do[1]的五倍音高是Mi, 往下移一個八度，5/2倍也是Mi。同樣，Do[1]的十倍音高也是Mi。

6倍音高和3倍是八度關係，因此是Sol。

Q2: 高八度的Fa[11]，它的音高頻率是原八度Do[1]的幾倍？它的音高頻率是原八度Fa[4]的幾倍？

A2: $frac{4}{3} times 2=frac{8}{3}$ 倍；八度之間二倍關係。

Q3: 根據純律的音程關係，請問Do[1]的9倍音高，15倍音高分別是什麼唱名？

A3: 分別是Re和Ti。

Q4: Re[2]和Mi[3]之間的音程是什麼倍數關係？

A4: $frac{5}{4} div frac{9}{8}=frac{10}{9}$ 倍

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音樂術語英文單詞表：

十二平均律：Equal temperament

約翰·塞巴斯蒂安·巴赫：Johann Sebastian Bach（常見縮寫：J.S. Bach）

半音：Semitone / half step / half tone

全音：Tone / whole tone

微分音音樂: Microtonal music

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擴展閱讀：

1. 純律與平均律波形比較 - 視頻中可以通過圖形清晰的看到純律的「純」與十二平均律「不純」。

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目錄：【樂理101－樂理原來可以這麼學】：目錄

序言：【樂理101－樂理原來可以這麼學】：序言

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課後拓展：【樂理101】3+. 平均律中的協和與不協和音程（上）

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