MATLAB筆記：利率模型

利率模型是對未來利率的預測，採用隨機過程來描述利率的未來變動，分為均衡模型和套利模型兩種。

（1）均衡模型

均衡模型屬於規範模型，是關於利率「應該怎麼樣」的描述，在均衡模型中國，當期的利率期限結構是輸出變數（關於利率期限結構，請看之前一篇文章的介紹MATLAB筆記：利率期限結構）。

(2)套利模型

套利模型是實證模型，根據市場情況，告訴市場關於利率「不應該怎樣」。套利模型的當期利率期限結構是輸入變數。套利模型的應用要遠遠超過均衡模型。

單因素均衡模型的數學形式如下：

r是短期利率，根據m(r)和s(r)的具體表示形式不同，可分為不同的模型，這裡不做贅述。本文主要介紹無套利模型（即套利模型）--HL、HW、BK、BDT、HJM模型。

HL模型

HL模型的具體形式為：

此處是短期利率的即時波動率，（t）是時間的函數，通過調整使得模型符合初始的利率結構。是不變常量。

假設我們觀察到如下的零息票利率集合：

由於利率在市場上並不是可以直接買賣的變數，相對應的金融工具是債券，因此在構建HL模型時，將採用價格樹和利率樹相互比較，以方便讀者理解。HL型價格兩期二叉樹圖如下所示：

t=0的價格為88.66。t=2時價格為100。我們將計算t=1時的債券價格。要得到這個價格，就需要知道一年以後的一年期即期利率的值是多少，用其折現得到相應的pu和pd。設定風險中性概率為0.5-0.5，為1.5%，則可知利率二叉樹圖中：

ru和rd是一年以後的一年期即期利率的可能取值，因此，當前兩年期零息債券的價格應當是兩者按照風險中性概率求得的平均值，以當前無風險利率5.78%折現的結果。因此，如下公式成立：

因而有：

得到HL利率模型對應的債券價格和利率二叉樹圖。

如果市場上存在更多期限的數據，則可將上述模型繼續推廣到多期結果。

變方差HL模型

在普通HL模型中，只有漂移率(t)是隨時間變化的，其方差是始終不變的，這個顯然是不合理的。本節著重處理方差是變數的情況。這裡的方差與時間有關。波動率期限結構是指不同到期期限情況下的即時利率的波動率。然而這是一個隨機變數，只能根據當前的波動率去估算。解決方法是：在當前時點上，根據歷史數據得到不同期限，比如一年期零息票利率的波動率，同樣兩年期的也可以根據無套利模型，計算出一年以後的一年期即期利率的波動率。

這裡的標準差稱為基點差或正則波動率。舉例：

構建如下數據的價格二叉樹。通過無套利的方法對遠期的波動率進行預測，這是本例的核心。

第一步：構建第一階段二叉樹。需要兩個方程，一個是波動率方程。根據上面的結果有：

第二個方程來自風險中性定價：

解上述兩個方程可得：

第二步：構建第二階段二叉樹圖

假設第二階段的Ru以0.5的概率取值為,Rd以0.5的概率取值為，那麼波動率方程為：

（這裡的方程不建議手工解，雖然有解析解，但非常複雜，建議採用MATLAB提供的sym函數和solve函數，其中solve可以解決方程組問題。）

可是需要解決的問題是一年期即期利率第二階段的二叉樹，而不是ru2和rd2。在第一部中，已經求得了一年後的一年期即期利率，而上面求得的ru2和rd2是一年後的兩年期即期利率的可能取值情況；要求的是一年期即期利率第二階段的二叉樹，即一年後的單期二叉樹應當如何？

按照無套利原則，在風險中性世界裡即為風險中性概率期望以無風險利率折現，因而有如下方程：

在本節開始的討論中，假設HL模型中的方差只與時間有關，而與利率水平無關，即一年之後的一年期即期利率的正則波動率不論利率水平是ru還是rd，應該都是一樣的，因而有如下方程：

最後一個方程需要實現二叉樹的重構，即利率的路徑，先升後降和先降後升應該是相同的。

解如上四個方程得到以下結果：

第三步：構建第三階段利率二叉樹圖。

HL模型是第一個無套利模型，有別於其他的均衡模型。在構建無套利利率二叉樹模型的過程中，重要的兩個方面是：

同當前利率期限結構符合，因而無套利。

同當前波動率期限結構符合。

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