自然常數的奧秘

【4句話簡要回答】

在一個平面里

1. nπ是半個圓的長度

2. ni在平面上代表的是一個垂直的方向

3. ne代表的是一種增長(的極限)

4. n1*e^πi 代表的是 在平面內，從1開始，垂直方向上增長π個單位，就變成了-1

【註：原貼最開始的問題是」如何向小學生解釋歐拉公式」】

數學n不是高深莫測的

Maths is for everyone.

Intuitive meaning:

按照小學生的數學功力，目前來說應該只了解π是什麼，對於i和e就一無所知了。目前小學生掌握的數學知識應該包括：正負數，整數，分數，小數，加法，乘法，簡單的平面幾何，一元方程，冪的基本知識(a^3)^4=(a^4)^3=a^12。如果你想通過三角函數來解釋這個公式為什麼make sense那就too young too森破了。

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所以我們必須要另闢蹊徑，尋找這個公式最根本的含義。

E^πi+1=0表達的是一種圖形的變化。簡單的來說，就是從1出發，沿著i的方向旋轉π個單位，最後轉到了-1。

Sounds like magic huh?

好了，接下來我們要一點一點的給各位小朋友講為什麼它划了個半圓。請各位六年一班的小朋友雙手背後，認真聽講，下課小測驗不及格的同學，酒老師可是要請家長的哦~

首先，我們來複習一下π是什麼？哪位同學可以回答一下？

王小明：老師，π是圓周長和直徑的比值！

酒老師：回答正確！

酒老師：所以如果我們以1為半徑畫一個圓，那麼半個圓的長度，就是π，大家一定要記清楚！

接下來，我們來說一下第二個問題，什麼是i？

同學們，接下來我們做幾道簡單的數學題x

那麼大家有沒有想過一個問題x^2=4,那麼x=? y^2=1,那麼y=?

王小明：老師，x=±2,y=±1

酒老師：回答正確，那麼大家再想一想x^2=-1，那麼x等於多少呢？

王小明：（一臉懵逼）

酒老師：我們知道1 5 8 23 101這些叫做整數， 0.3 0.25 1.58這些叫做小數，-8 -65n-812這些叫做分數，今天我就來帶領大家認識一個新的數i.

我們都知道1和1相乘的結果是1，那麼怎麼定義呢？ni和i相乘的結果是-1，i^2=-1。可能對於有些同學來說這個概念比較難理解，接下來酒老師畫個圖，可能大家就一目了然了。

我們都知道的是1*x*x=4,x=±2這個在幾何裡面是什麼意思呢？nX=2意味著，把1放大兩倍之後再放大兩倍，我們能得到4。X=-2意味著是把1放大兩倍並且變化方向，然後再放大兩倍再變換方向，我們也能得到4。

相似的是，如果我們1*x*x=-1那我們該怎麼算？

X不能是正數，因為正正為正。

X也不能是負數，因為負負為正。

那麼怎麼經過兩次變化，就從1變到-1了呢？

給大家一個提示，把數軸想像成一個平面….

王小明：讓1在這個平面里轉圈圈不就好了！

酒老師：是呀。如果我們把i想像成逆時針旋轉兩次的話那麼1*i*i不就是-1了么！

酒老師：有的同學會問，那麼i到底是不是一個數呢？

大家記住，i是一個數，並且i描述的是一種全新的描述數的概念。通過把1旋轉，在上面的這個平面里，我們得到了一個新的數i，它的定義就是i^2=-1 在圖裡面n橫著的是我們之前學習過的數，例如 1 6 5.8這種，而豎直的是我們今天學習的i

如果我們從1開始，每次都*i會怎麼樣？

1=1

1*i=i旋轉一次到達90°

1*i*i=-1 ni的定義

1*i*i*i=-i n旋轉3次n來到-i

1*i*i*i*i=1 旋轉4次等於轉了一圈 原地不動

好了，最後，大家記住，i^2=-1，*i的幾何含義是逆時針旋轉90°

王小明：哇，酒老師好棒！！

（有的讀者可能會質疑複數概念和運算的問題n因為在這個裡面並不會用到運算，所以暫時不引用）

酒老師：接下來我們講一講公式中最後一個重要的是數字e。它是什麼呢？

想必小朋友都和爸爸媽媽去銀行存過錢吧？現在呢，酒老師給每個同學1塊錢，給大家一年的時間，請同學們把錢存到銀行里，每年的利率是100%，看看哪位同學最後連本帶利得的最多？銀行有不同的存法，你把一年分成多少分n每一份的利息就是100%除以份數。n

具體的存法，每位同學可以參考下面的圖表。每個同學可以有不同的選擇，看看哪位同學最後得到的錢最多？

假如你有1塊錢，你存在銀行里一年之後取出，是2塊錢。

但是如果你只存半年之後取出，是1+1*50%=1.5，是1.5元。你再存半年的話是1.5+1.5*50%=2.25元。看是不是比剛才多了？

如果分成三份，同學們看，是不是比剛才又多了？

如果繼續這樣分下去，各位同學比一比，看看分成多少分才能得到的錢最多呢？

是不是如果繼續把份數增加，我們的錢就會一直增加？成為「大款」呢？

王小明：好像是的哦。。。

酒老師：不是的！n無論我們怎樣增長，都不能超過一個數，這個數字就是e啦！

王小明：那為什麼是e呢？

酒老師：e實際上代表的是一個增長的極限，也就是無論你分成多少份，總增長的和永遠不會超過e！在一年的時間裡面，無論你分成多少份去翻倍，都不可能超過e。

王小明：懂了，原來e就是一段時間內，以1開始，這種翻倍增長可能達到的最大值呀！n

酒老師：是的。所以，e就是一個極限值，就像是光速能達到每秒30萬公里一樣，你可能永遠達不到這個值，但是e就是一個參考值，很多自然世界中的增長速度，比如說細菌的繁殖，比如說物體冷卻的速度，都是和這個極限值有一定聯繫的。

王小明：原來如此高深莫測！

酒老師n：嚴格來說e的表達式是e=(1+1/n)^n（註：這裡省略了limn→∞，並不想給小學生引入太複雜的概念），他的意義是，在一個單位時間內，連續的翻倍增長所能達到的極限值。 值得注意的是，所有的自然地增長，雖然可能沒有達到這個極限，但是都能夠通過某種方法，和e有著某種關係。這種關係衡量著這種增長的速度。

王小明：怎樣的聯繫呀？

酒老師：舉個例子來說：假如剛剛的銀行，存一年的利息沒有100%了，那麼一年之後，你最多能夠拿到多少錢？

王小明：這。。。（繼續一臉懵逼）

我們來看一下n

(1+50%/n)^n

設n=0.5m

=(1+50%/0.5m)^0.5m

=(1+100%/m)^m^0.5

=e^0.5（這個該怎麼達成正確的數學公式？）

是不是很神奇？

如果我們把0.5換成x的話，我們就會很輕易得到(1+x/n)^n=e^x

大家不要忘記的是，我們做的一直是乘法也就是許許多多個(1+x/n)不斷相乘，最後得到的結果就是e^x

還不理解什麼意思？n來看一下這個圖。

現在懂了么？

王小明：嗯！

所以說我們就是在做乘法，很多很多個乘法….e呢，就是一個衡量你能增長多快的速度n記住，增長=e^增長速率

王小明：酒老師！那麼3年該怎麼算？

酒老師：三年該怎麼計算？應該是1*e^x*e^x*e^x=1*e^3x (冪的運算) 所以再記住

增長=e^增長速率*時間

再把所有今天講的內容拼湊到一起之前，我們來總結一下e。 e是在單位時間內連續翻倍增長可能達到的最大值，增長=e^增長速率*時間。換一個角度來思考的話，仍和一個數字，都可以在某個時間通過某個增長率來達到！n比如說以e^1的速度增長，9=e^ln9。這裡面的ln9 就是達到9這個數字的時間，儘管大家可能還不太懂ln9是什麼。。。

王小明：好棒！

Now let』s put the jigsaw together.

酒老師：我們剛剛說到e是增長的體現，i的意義是旋轉，那麼e^i是啥意思呢？

王小明：那不就是旋轉的增長么！so intuitive!

那麼e^πi呢？n更直覺的來說，那就是在增長π這麼多啊！n那就從1轉到了-1呀。