物理閑話（一）：史瓦西時空下粒子的運動方程

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關於史瓦西度規（Schwarzschild metric）的簡要介紹，見我的回答

先來看看一般情形下彎曲時空中粒子的運動方程——測地線方程：

$frac{{rm d}^2x^{mu}}{{rm d}p^2}+Gamma^{mu}_{ nulambda}frac{{rm d}x^{nu}}{{rm d}p}frac{{rm d}x^{lambda}}{{rm d}p}=0$

其中 $p$ 為仿射參量。如果粒子有質量（質點），那麼 $p=tau$ （ $tau$ 即固有時）；如果粒子沒有質量（光子），那麼 $p$ 為任意仿射參量。

現在考慮時空是一個靜態球對稱（或者說各向同性）的時空，滿足史瓦西度規：

${rm d}tau^{2}=left(1-frac{2GM}{r}right) {rm d}t^2-left(1-frac{2GM}{r}right)^{-1} {rm d}r^2-r^2{rm d}theta^2-r^2 {rm sin}^2theta{rm d}varphi^2$

那麼測地線方程就變為：

$textcircled{small{1}}:frac{{rm d}^2t}{{rm d}p^2}+frac{2GM}{rleft(r-2GMright)}frac{{rm d}r}{{rm d}p}frac{{rm d}t}{{rm d}p}=0$

$textcircled{small{2}}:frac{{rm d}^2r}{{rm d}p^2}+frac{GM}{r^3}left(r-2GMright)left(frac{{rm d}t}{{rm d}p}right)^2-frac{GM}{rleft(r-2GMright)}left(frac{{rm d}r}{{rm d}p}right)^2-left(r-2GMright)left[left(frac{{rm d}theta}{{rm d}p}right)^2+{rm sin}^2thetaleft(frac{{rm d}varphi}{{rm d}p}right)^2right]=0$

$textcircled{small{3}}:frac{{rm d}^2theta}{{rm d}p^2}+frac{2}{r}frac{{rm d}theta}{{rm d}p}frac{{rm d}r}{{rm d}p}-{rm sin}theta{rm cos}thetaleft(frac{{rm d}varphi}{{rm d}p}right)^2=0$

$textcircled{small{4}}:frac{{rm d}^2varphi}{{rm d}p^2}+frac{2}{r}frac{{rm d}varphi}{{rm d}p}frac{{rm d}r}{{rm d}p}+2{rm cot}thetafrac{{rm d}theta}{{rm d}p}frac{{rm d}varphi}{{rm d}p}=0$

運動方程列出來了，下面就是艱巨的解方程大業啦！

當然，首先要化簡方程……

由於引力場是各向同性的，故可以將粒子初始時刻的運動平面（速度與位置形成的平面）定義為赤道面，即 $t=0$ 時 $theta=frac{pi}{2}$ ， $dot{theta}=0$ ，代入到③中，可以得知 $t=0$ 時 $ddot{theta}=0$ 。因此， $thetaequiv frac{pi}{2}$ （記為⑤式）。（P.S. 這裡的點代表對 $p$ 求導，一個點是一階導，兩個點是二階導，以此類推）
考慮Killing矢量

$g_{munu}$ 不顯含 $t$ $Rightarrow$ $k^{mu}=left(1,0,0,0right)$ $Rightarrow$ 守恆量 $k_{mu}frac{{rm d}x^{mu}}{{rm d}p}={rm const}$ ，即 $k_{0}frac{{rm d}x^{0}}{{rm d}p}={rm const}$ $Rightarrow$ $left(1-frac{2GM}{r}right)frac{{rm d}t}{{rm d}p}={rm const}equiv E$ （記為⑥式）
$g_{munu}$ 不顯含 $varphi$ $Rightarrow$ $k^{mu}=left(0,0,0,1right)$ $Rightarrow$ 守恆量 $k_{mu}frac{{rm d}x^{mu}}{{rm d}p}={rm const}$ ，即 $k_{3}frac{{rm d}x^{3}}{{rm d}p}={rm const}$ $Rightarrow$ $r^2{rm sin}^2thetafrac{{rm d}varphi}{{rm d}p}=r^2frac{{rm d}varphi}{{rm d}p}={rm const}equiv L$ （記為⑦式）

四維速度的歸一化條件： $-g_{munu}U^{mu}U^{nu}=epsilon$ ，且對有質量粒子來說 $epsilon=1$ ，對無質量粒子來說 $epsilon=0$ 。代到度規的表達式里可以得到 $-left(1-frac{2GM}{r}right)left(frac{{rm d}t}{{rm d}p}right)^2+left(1-frac{2GM}{r}right)^{-1}left(frac{{rm d}r}{{rm d}p}right)^2+r^2left(frac{{rm d}varphi}{{rm d}p}right)^2=-epsilon$ 。再把⑥式代進來，得到 $-E^2+left(frac{{rm d}r}{{rm d}p}right)^2+left(1-frac{2GM}{r}right)left(frac{L^2}{r^2}+epsilonright)=0$ 。故有 $frac{1}{2}left(frac{{rm d}r}{{rm d}p}right)^2+Vleft(rright)=frac{1}{2}E^2$ （記為⑧式），其中 $Vleft( r right) =frac{1}{2}epsilon-frac{GM}{r}epsilon+frac{L^2}{2r^2}-frac{GML^2}{r^3}$ 。

很容易驗證，後面的⑤⑥⑦⑧式和前面的①②③④式是等價的。

現在我們有一套更簡潔的運動方程了：

$begin{equation}nleft{nbegin{aligned}n&theta=frac{pi}{2} n&left(1-frac{2GM}{r}right)frac{{rm d}t}{{rm d}p}=E n&r^2frac{{rm d}varphi}{{rm d}p}=L n&frac{1}{2}left(frac{{rm d}r}{{rm d}p}right)^2+Vleft(rright)=frac{1}{2}E^2 nend{aligned}nright.nend{equation}$

其中 $Vleft( r right) =frac{1}{2}epsilon-frac{GM}{r}epsilon+frac{L^2}{2r^2}-frac{GML^2}{r^3}$ 。

對比Newton力學：

$begin{equation}nleft{nbegin{aligned}n&theta=frac{pi}{2} n&r^2frac{{rm d}varphi}{{rm d}t}=L n&frac{1}{2}left(frac{{rm d}r}{{rm d}p}right)^2+Vleft(rright)=E nend{aligned}nright.nend{equation}$

其中 $E$ 為單位質量粒子總能量， $Vleft( r right) =-frac{GM}{r}epsilon+frac{L^2}{2r^2}$ 。