邏輯與代數、代數幾何的糾纏

昨天聽了本校一個做model theory和arithmetic geometry相關的老師的講座，想把講座的內容給大家介紹一下，還是有點意思的，原講座摘要如下：

我們要考慮的問題是這樣的：

首先，給定一個域K，我們定義一個東西叫K的elementary theory，它是一個集合，裡面的元素為在K中成立的所有一階語句（first order sentence）。問題：K的elementary theory是否完全刻畫了K（的同構類）？i.e., 如果兩個域K, L，它們有相同的elementary theory（即一個一階語句在K中成立當且僅當它在L中也成立），這兩個域是否同構？

然後答案似乎是否定的。我們有如下定理：

兩個域K,L有相同的elementary theory，當且僅當它們有同構的ultrapower.

下面定義什麼叫域K的ultrapower：給定一個無限集I，考慮這個環，考慮它的一個maximal non-principal ideal m，這個域就是K的一個ultrapower. 注意ultrapower不是唯一的，上述定理只要求K,L有某個同構的ultrapower就行了。

對一般的域，elementary theory似乎不足以刻畫它的同構類。但是對有限生成的域，elementary theory是否刻畫它的同構類，好像還是個open problem。這裡有限生成，是指域K相對它的素域來說是有限生成的。代數幾何中涉及到的大部分域，比如代數簇的函數域，都是有限生成的。

然後下面是另一個相關的問題：

對於一個（有限生成）的域K，是否存在一個一階公式，使得如果對另一個（有限生成的）域L，在L中成立當且僅當L同構於K。

這個問題好像比上面第一個問題強一點，就是說能不能找到一個通用的公式，使得這個公式完全刻畫了這個域（至少在有限生成域的範圍內）。

然後據說2008年JAMS有人發文章證明了這個問題，但是證明有錯誤，2011年被撤回了。。

聽那個老師說這些問題和代數裡面一些大猜想，比如Mordell conjecture，Lang conjecture，甚至可能和Riemann Hypothesis也有關係（比如把RH寫成一個一階語句的形式，然後考慮在哪些域裡面，這個語句是對的）。感覺做邏輯的很多都是在想「怎麼把一句話說得更簡單」，比如能不能把 特徵0 這個條件用一階語句說出來，怎麼用一階語言來描述transcendence degree這些東西。然後這些看起來沒什麼卵用的問題實際上也能用來解決具體的代數／代數幾何／數論問題。。

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