邏輯與代數、代數幾何的糾纏
昨天聽了本校一個做model theory和arithmetic geometry相關的老師的講座,想把講座的內容給大家介紹一下,還是有點意思的,原講座摘要如下:
https://www.math.upenn.edu/events/continuation-my-colloquium-talk-sep-12-2001。我們要考慮的問題是這樣的:
首先,給定一個域K,我們定義一個東西叫K的elementary theory,它是一個集合,裡面的元素為在K中成立的所有一階語句(first order sentence)。問題:K的elementary theory是否完全刻畫了K(的同構類)?i.e., 如果兩個域K, L,它們有相同的elementary theory(即一個一階語句在K中成立當且僅當它在L中也成立),這兩個域是否同構?
然後答案似乎是否定的。我們有如下定理:
兩個域K,L有相同的elementary theory,當且僅當它們有同構的ultrapower.
下面定義什麼叫域K的ultrapower:給定一個無限集I,考慮這個環,考慮它的一個maximal non-principal ideal m,這個域就是K的一個ultrapower. 注意ultrapower不是唯一的,上述定理只要求K,L有某個同構的ultrapower就行了。
對一般的域,elementary theory似乎不足以刻畫它的同構類。但是對有限生成的域,elementary theory是否刻畫它的同構類,好像還是個open problem。這裡有限生成,是指域K相對它的素域來說是有限生成的。代數幾何中涉及到的大部分域,比如代數簇的函數域,都是有限生成的。
然後下面是另一個相關的問題:
對於一個(有限生成)的域K,是否存在一個一階公式,使得如果對另一個(有限生成的)域L,在L中成立當且僅當L同構於K。
這個問題好像比上面第一個問題強一點,就是說能不能找到一個通用的公式,使得這個公式完全刻畫了這個域(至少在有限生成域的範圍內)。
然後據說2008年JAMS有人發文章證明了這個問題,但是證明有錯誤,2011年被撤回了。。
聽那個老師說這些問題和代數裡面一些大猜想,比如Mordell conjecture,Lang conjecture,甚至可能和Riemann Hypothesis也有關係(比如把RH寫成一個一階語句的形式,然後考慮在哪些域裡面,這個語句是對的)。感覺做邏輯的很多都是在想「怎麼把一句話說得更簡單」,比如能不能把 特徵0 這個條件用一階語句說出來,怎麼用一階語言來描述transcendence degree這些東西。然後這些看起來沒什麼卵用的問題實際上也能用來解決具體的代數/代數幾何/數論問題。。
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