概率論與隨機過程相關書籍點評（下）

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4 測度論。講抽象空間上如何定義測度、積分，總體來說是實變函數論在一般可測空間上的抽象，是Kolmogorov建立現代概率論的理論基礎。只為了學後續的概率的話，也不用學太深。需要數學分析和實變函數論，雖然我先學的測度論，再學的實變，於是根本沒有『實變函數學十遍』的感覺。

北大的教材是程士宏的《測度論與概率論基礎》，可以用。國內教材比較出名的好像是嚴加安的《測度論講義》。我用的是Halmos的《測度論》，GTM18，記號太老，沒有必要用，後面的Haar測度也不是給概率論用的。Doob有一本《測度論》，GTM143， 還行。Stein的實分析裡面有測度論，其實也不錯。特侖蘇·陶（大霧，陶哲軒）有一本An Introduction to Measure Theory也許可以看看，國內應該沒出版，網上有。想速成的話，可以看Durrett的Probability: Theory and Examples, 國內影印過第三版，現在估計絕版了。最新是第四版。這本書第三版的附錄或第四版的第一章講了高等概率需要的一些測度論。

5 高等概率論。基於測度論，講概率論的嚴格基礎，大數律，中心極限定理。需要初等概率論和測度論。到這裡算是進入嚴格的概率論了。這部分分析味道很重，動不動就估個不等式。總之風格和之前的初等部分完全不一樣，適應了才算是真正入了概率論的門。之前的初等概率論隨機過程玩得再溜，也只是雕蟲小技，想要做概率論隨機過程的研究，以此為生，還是要靠硬分析技巧。（硬分析比如調和分析，軟分析比如泛函分析，學過的自然懂其中的區別）這也是概率這個學科比較坑的一點，先用比較基礎甚至有點組合味道的初等概率論隨機過程把你拉入坑，再放分析大狗出來咬你。我後來受不了這種硬分析風格（功力不夠），就轉嚮應用，回去做初等問題了。

6 高等隨機過程。基於測度論，講馬氏過程的嚴格理論，鞅論，遍歷定理，布朗運動的嚴格理論。需要初等隨機過程，測度論，高等概率論。這個時候泛函分析也該會了。學到這裡，你就知道之前的初等隨機過程是多麼的粗淺低端不嚴格，之前學得好而洋洋自得是多麼的naive。這部分風格比較多樣，也比高等概率論有趣一些。而且這部分相對更有用，比如鞅論里的可選停時定理，能有效而嚴格地處理各種『賭徒必勝策略』，『生到男孩才停止會不會造成男女比例不均衡』問題。遍歷定理也是個有趣的東西，簡單來說，遍歷過程的時間平均等於空間平均。陳大岳主頁上寫給同學們的臨別贈言是：人生不是平穩過程，但遍歷定理仍然成立！大概就是說，如果你此刻本可能獲得某些東西卻沒有，那麼將來一定會有的。當然反過來理解也是可以的：如果你現在無論如何也找不到妹子，那麼將來也別想了。

高等概率論和高等隨機過程的書放在一起講。北大用的教材是Durrett的Probability: Theory and Examples，高等概率論講第三版的前兩章和附錄。高等隨機過程講第三版的四六七章。這本書非常主流，寫得也確實不錯，網上還有習題解答。我曾花費大量時間，把這本書讀了三四遍。為了防止散架，往書脊上灌了半瓶膠水。題圖就是這本書。我大二下學期開始看這本書，看了兩個月覺得可以學下去，於是就決定學概率。後來發現讀過了也不能完全掌握，難以融會貫通，心中非常痛苦。雖然現在不做概率論與隨機過程的嚴格理論了，但還算是做應用概率。之前開會的時候見到了Durrett本尊，心情非常複雜。btw，我的Durrett曾經被韋神開過光。

Kallenberg的《現代概率論基礎》（第二版）涵蓋內容更多一些，寫得很難，給當年大三的我留下了深深的心理陰影。某個大牛師兄後來說，這本書如果有老師帶著或者同學組織討論班讀，還可以接受，純粹自學沒有必要。這本書好像是中科院的教材。

Shiryaev的《概率》（GTM95）我翻過一點，是老毛子的風格，比較硬來，比較難讀。

Durrett沒有講連續鞅，想學的話可以看Rogers的《擴散 馬爾可夫過程和鞅》。

高等隨機過程可以從泛函角度來看，Bobrowski有一本《概率論與隨機過程中的泛函分析》，裡面有點錯誤，總體不難，比較適合開闊思路。比如把條件期望看做隨機變數在較粗的filtration上的正交投影。

Williams有一本《概率和鞅》，據說思路不錯。

此外鍾開萊、Loeve等人也寫過類似的書。我的意見是找准適合自己的書，堅持讀下去就好，來回換書不可取。

7 高等隨機分析。基於測度論，講隨機積分與隨機微分方程的嚴格理論。需要之前提到的幾乎所有課程，還有泛函分析和偏微分方程。這是北大開設的有固定內容的最難的概率課，兩年開一次，我有能力上的時候已經畢業了，所以不清楚具體情況。

課本或參考書應該是Karatzas & Shreve的《布朗運動和隨機計算》，GTM113. （世圖這書名翻譯也是醉了，stochastic calculus居然翻譯成隨機計算）這本書很經典，不好讀。同樣是某大牛師兄說，這本書如果有老師帶著或者同學組織討論班讀，還可以接受，純粹自學沒有必要。年輕人有時候好勇鬥狠，悶頭硬啃一本書，但缺乏交流，會效率低下，得不償失，甚至打擊自信。總之不同的環境下，要選擇不同的書。

別的書我就不了解了，畢竟這東西我到現在也不會。

8 雜項。

Athreya & Ney 有一本 Branching Processes，國內應該沒出版，雖然有點老，但是對分支過程講得挺全面，也不是很難。

Grimmett的Percolation（好像翻譯叫《逾滲》）是國內常用的percolation入門書。

Jaynes的《概率論沉思錄》，作者到死都沒寫完。內容比較雜，有很多自己的思考，風格很獨特。

上初中的時候讀了張遠南的《概率和方程的故事》，裡面有不少小故事，是不錯的青少年科普讀物。

單墫的《概率與期望》是一本高中數學競賽小冊子，應該是我第一次讀到的正經的初等概率書，老實說寫得還不錯。

上篇末尾提到的角谷靜夫（Kakutani）最出名的工作是Kakutani不動點定理 Kakutani fixed-point theorem。 後來約翰·納什寫了一篇兩頁的論文，把這個定理用在了博弈論中，然後得了諾貝爾經濟學獎。

關於初等隨機過程，有個學長講的段子：說某個充滿魔幻現實主義的地方，其歷史就是個常返馬氏鏈（從某狀態出發，會無窮多次回到出發點）。你會被歷史的車輪碾過，還沒爬起來，發現歷史在開倒車。