力學（一）—描述系統的方程

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寫在前面：我會試圖以最簡單的語言闡述我在學習《力學》（朗道）時的思路，供已經系統學習過微積分、線性代數（包括線性空間、線性變換內容）同學參考，指出我理解的錯誤之處。

我們首先提出一些關於這個世界的基本思考，以此出發，構建整個能夠描述世界的理論：

質點：我們總是樂意抽象出某些沒有形狀的一類物體，他們只是用來描述運動，具有許多客觀的實在性質，從而富有理論價值，我認為這種抽象本質上是從還原論上出發得出的。
參考系：空間中單獨一個自由運動的質點不具有任何實在的性質，研究力學現象必須選擇參考系，為了避開對空間性質的複雜討論，我直接給出結論：從一個參考點出發在空間中總能找到三個兩兩互相垂直無限長的參考軸，質點在空間中的位置可以被他們標定。
科學定律：我們可以從世界中紛繁雜亂的性質中總結出某些通性，一般由一些假設得出。如果這些定律一直或一定程度上和現實（實驗）吻合，我們稱之為適用，反之則稱之為不適用。

矢徑、速度、廣義坐標

完全描述一個質點需要三個坐標，為了利用參考系描述質點的位置，引入矢徑，它大小等於質點到參考點的距離，方向從參考點指向質點。在笛卡爾坐標下，它指是在自然基下的坐標，這些坐標是某個參量 $t$ 的函數，我們稱之為時間：

$vec r = { x,y,z}$ $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$

給出某時刻矢徑，只能定下該時刻 $t$ 的位置，為了能夠預測 $t+dt$ 的矢徑，定義速度為矢徑對時間的導數：

$[vec v = frac{{dvec r}}{{dt}}]$ ，也可以寫作： $[vec v = dot {vec{r}} = { dot x,dot y,dot z} ]$

有的時候，笛卡爾坐標系並不方便，我們沒有必要一定選取笛卡爾坐標作為坐標，只要選取的坐標獨立且足夠就可以描述系統。

例如：考慮給定了參考點 $O$ 的一個空間中的質點 $r$ ，我們可以做出矢徑，以此為對角線做一個長方體（不唯一），長寬高給出三個坐標；我們也可以用這個矢徑和參考點做一個球面，球的半徑、質點所在經、緯度給出三個坐標。

這樣給出的坐標被稱作廣義坐標，根據如上的描述，廣義坐標是獨立且足夠的，這些坐標的個數稱作自由度。和上面定義速度的方法一樣，諸廣義坐標對參數 $t$ 的導數稱作廣義速度。

描述世界的基本原理

我們樂意於抽象最簡單的原理（數學上成為公理，物理上稱作原理？），以此為基本出發點，建立能描述整個系統的科學定律（如果你忘記了它的定義，一定記得回去看看），物理學研究給出了這個原理：

每一個力學系統都可以由一個確定的函數 $L({q_i},{dot q_i},t)$ 表徵，其中 ${q_i}$ 是廣義坐標， ${dot q_i}$ 是廣義速度， $t$ 是時間，這個函數是這樣描述系統的：

設在時刻 $t = {t_1}$ 和 $t = {t_2}$ ，系統的位置已經由兩組坐標 ${q^{(1)}}$ 和 ${q^{(2)}}$ 描述，那麼系統的真實運動應當使得積分

$[S = int_{{t_1}}^{{t_2}} {L(q,dot q,t)}dt ]$

取得極小值。

我們將 $L$ 稱作拉格朗日量， $S$ 稱作作用量，這個原理稱作最小作用量原理或者哈密頓原理

體會一下這個基本原理的含義：

描述系統只需要 ${q_i}$ 、 ${dot q_i}$ ,不需要給出 $[{ddot q_i}]$ 、 $[{dddot q_i}]$ 等等。這與我們的前面的直觀理解是完全相符合的，速度的導數沒有必要現在定義。
取極小值意味著，我變動 $L$ ，使它擴大常數 $alpha$ 倍，或者增加一個關於時間和坐標函數的全導數項，都不會影響這個函數確定的系統。即： $[L = alpha L]$ , $[L = L + frac{d}{{dt}}f({q_i},t)]$ 和 $L$ 描述的是一個系統。

下面我們化簡一下這個基本原理，得到他的必要條件——拉格朗日方程。

可以參看我上一篇文章《變分法》，當然也可以選擇接受下面的結論：

符號 $delta$ 可以與導數符號交換順序，符號 $delta$ 作用在 $t$ 的已知函數上得到0，特別地， $delta t = 0$ 。

先來考察一個廣義坐標的情況：

$[delta S = int_{{t_1}}^{{t_2}} {[L(dot q + delta dot q,q + delta q,t+ delta t)} - L(dot q,q,t)]dt]$

等式右邊進行展開，取一階量：

$[delta S = int_{{t_1}}^{{t_2}} {(frac{{partial L}}{{partial dot q}}} delta dot q + frac{{partial L}}{{partial q}}delta q + frac{{partial L}}{{partial t}}delta t)dt]$

注意到 $delta t = 0$ ， $[Adelta frac{{dq}}{{dt}} = frac{{d(Adelta q)}}{{dt}} - dot Adelta q]$ ,其中 $[A = frac{{partial L}}{{partial dot q}}]$

注意到 $frac{{d(Adelta q)}}{{dt}}$ 是全導數項，拿出積分號之後為0，所以最後：

$[delta S = int_{{t_1}}^{{t_2}} {delta q(frac{{partial L}}{{partial q}} - frac{d}{{dt}}frac{{partial L}}{{partial dot q}})dt} ]$

某個引理保證了 $[delta S = 0]$ 時候，積分號裡面的係數項也必須是0，得到：

$[{frac{{partial L}}{{partial q}} - frac{d}{{dt}}frac{{partial L}}{{partial dot q}}} = 0]$

對於多個廣義坐標的情況，得到：

$[delta S = int_{{t_1}}^{{t_2}} {sumlimits_i {delta {q_i}(frac{{partial L}}{{partial {q_i}}} - frac{d}{{dt}}frac{{partial L}}{{partial {{dot q}_i}}})} dt} ]$

以及 $[{frac{{partial L}}{{partial {q_i}}} - frac{d}{{dt}}frac{{partial L}}{{partial {{dot q}_i}}}} = 0]$

這就是拉格朗日方程，即本文目標——描述系統的方程。

Note:

這是必要條件。
從微分方程的階數上來看，這是一個二階微分方程這意味著：方程中可能出現坐標的二次導數，自然的我們補充定義：廣義加速度— $ddot q$ 。但是最小作用量原理並不要求這樣的定義，後面我們可以看到，通過合適的擴充變數（變數數會多於自由度），我們會拋棄廣義加速度這個概念。

下集預告：力學（一）給出了大量的通過觀察抽象出的一些概念，並通過一些簡單的數學運算得到了拉格朗日方程，這裡先以「灌輸」的方式，陳述哈密頓原理這個事實。下一節將會引入另一個極其重要的原理，他刻畫了空間的另一些性質，同時可以從這個原理推斷出拉格朗日量，從而解出真實的運動。

參考文獻：《力學（理論物理學教程）》 ?.?朗道 E.M,栗弗席茲

本來就是力學的筆記+讀後感，有興趣的同學可以看看，蠻有意思的。物理學初學者，待指正錯誤。