目前三維下產生的基礎數學在高維度下是否依然成立?
假設存在一個高維世界，裡面的智能生命歸納出的數學基礎是否可以和我們的兼容。又會有哪些異同。而我們對於這些異同的思考，是否會被本身三維的性質局限而永不可知？
不同維數之間差別還是挺大的。比如說，一維和三維球面上有群結構，但是再高維就沒有了。再比如七維球面上才會出現的不同的微分結構(四維不知道)。還有，h-cobordism theory只在至少5維的流形上才對，這直接導致了高維的Poincare猜想的解決，但反而三維和四維的Poincare猜想比較麻煩。
還有一個例子，實二維也就是復一維的共形映射也就是全純或者反全純，但是高維的共形映射反而簡單，只有平移相似反演及其複合。剛剛想到這些，容我想想還有沒有別的。。
數學規律在不同維度的空間中會有不同。但無論是生活在幾維空間中的生物來研究，當它們研究相同維度的空間時，就會得出相同的數學規律。
當然，生活在某種空間中的生物，最先開始研究、也是研究得最透徹的，必定是自己所在的那種空間。
在
扭結在更高維的空間里也是不存在的……
暫時就想到這些……我發現很多人沒明白題主在問什麼？只是回答了「不同維度下的數學結論是否會不同」，那個自然是會不一樣的，同一個「數學問題」在不同維度的確會不一樣，這是顯然的。但是，這不代表不同維度的生物研究「相同的維度」的數學對象會得出不同的結論。只要建立在同一個「公理基礎」上，兩者都尊重邏輯，那麼這兩類生物的研究結論是一樣的，和這個生物生活在幾維沒關係，就好像人類雖然生活在「三維」，但是研究起多維也頭頭是道一樣，甚至無限維這種東西也早就不是什麼新鮮事。 當然了，生活在幾維肯定對這個維度是最關心的。
重點是不同維度的生物會選擇同一個「公理」嗎？這就很難說了，也許人家不承認選擇公理呢？也許人家不喜歡集合語言呢？畢竟，雖然我們現在主要使用的公理系統是ZFC，但是很多數學家也會換換口味，加入這個或者那個「公理「，只要它兼容就好。 比如，「連續統」假設，也就是沒有一個集合的cardinality（基數）是嚴格在整數和實數之間的。數學家證明，這個假設成立與否和現在的ZFC系統都是兼容的。Cohen用力迫法證明了這個結論，還因此拿到了菲爾茨獎。 我也聽過，有些人還真的在假設這個基礎上證明了一些東西。嗯，interesting。
隨機遊動,大於等於三維空間常返性不再成立..
假設存在一個高維世界，裡面的智能生命歸納出的數學基礎是否可以和我們的兼容。又會有哪些異同。而我們對於這些異同的思考，是否會被本身三維的性質局限而永不可知？
這是原題主解釋的題意。我持不可知論。
幾年前，對，就是龐加萊猜測剛解決的那年，我和一個在相關方向工作的傢伙聊天，問了他一個問題：五維球面為什麼可以翻轉？
他想了一段時間說; That is not our world.數學啊，最早是來源於實踐的。拿幾何來說，一維是條線，二維是個面，面比線多了個叫做角的幾何結構。三維是體，裡面有異面直線，二面角等面里沒有的東西。三維以上呢？不知道，我們也看不到。數學上的高維空間只是三維的形式推廣，本質上沒有多出更多的幾何結構。
如果真的按照題主所說，存在一個高維空間，我相信應該會有從三維世界總結不出來的空間結構，也就是我們被三維局限而不可能知道的結構。或許加上新的結構，五維球面就不能翻轉，或許隨機遊動可以返回原點。誰知道呢?
別說五維了，就是我們現在的世界，如果一個智能生命本身的移動速度能達到光速的幾分之一，我相信他總結出來的幾何也不會和我們一樣。誰說高維沒有定義的，前三維每一個維度都是長度，第四維也一樣，覺得從三維理解到思維不容易，但是理解了四維更高維就好理解了。
這個叫超立方體，是一種類似於三維中正方體一般存在的幾何結構，展開圖由8個正方體組成(真的是都是直角的正方體)，如果你看下圖難以理解也很正常，畢竟這是一個四維物體的三維投影的二維投影...
註：如果想理解的話可以考慮一下如何讓四條直線在四維中兩兩垂直(就是正交基)，如果你站在三維的角度上是絕對做不到的，就像你不能站在二維平面上讓三個直線兩兩垂直。考慮在不同緯度下同一緯度的事物規律
我們來考慮兩條直線(兩個一維)的關係，在二維中兩條直線可以平行或相交，在三維中又多了一種情況叫異面，但在四維中又會多一種情況叫異體，兩個線完全不在一個空間，但兩者是可以像異面一樣計算距離的，這種看上去像是更加複雜不適用但邏輯其實和三維二維都一樣，或者說更高維的公式可以兼容低維的公式，低維公式是高維公式的弱化。如果說上面的考慮類似於一種絕對的位置，我們來考慮一種相對的位置，即考慮二維下得一維(平面內兩條直線)，三維下的二維(空間內兩個平面)，四維下的三維(胞體內的兩個空間)，其位置關係要麼平行要麼相交要麼重合。四維下是允許兩個三維空間平行的，而且在第四維的兩個數之間存在著無數個平行空間，學過線性代數的應該都能明白。但高維之後的確會出現低維不存在的情況需要新的公式去描述，但描述出來後在更高的緯度上一定能用的上。
本身人們在研究更高維時最為重要的思想就是「類比」，把我們能理解的東西去類比到更高緯度上去，看在低維上有沒有和高維類似的結論。所以同一思想到更高維可能表現的更加複雜，但其本質是相同的。哈哈哈，剛剛還在想這個問題，我在看流體相關的方程，在想要是我們維度變了，這些東西是否還會成立······現在是xyz，維度變了可能要再加變數吧！
數學的很多定理都是從一維推導到高維的啊！
數學結論跟物理世界的維度沒關係。純數學的存在又不需要物理。君不見在數學裡面我們都在處理各種維度包括n維的東西嗎？三維空間限制不了數學研究。
首先我們所處時間的維度到底是什麼本身就是個問題，如何定義一維跟二維，點再小也有面積，面再薄也有厚度，而超過三維的空間到底是什麼樣，也沒人嚴謹地說明，而那個用螞蟻散步描述維度的例子也經不起推敲，還有把時間引入維度的，時間是空間變化的順序性表述，並不能反過來再用時間定義空間。我現在只能認為我們所處的空間只是一個三維空間，可以從理論上定義其他維度，比如二維就是厚度為零的紙，一維是寬度為零的線，但現實中存在嗎？
低維的無限是高維的有限
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