81次獲提名，諾獎界無冕之王攪動流體江湖風雲（上）

01-28

?阿諾德·索末菲 (1868-1951)

撰文 | 潘玉林（麻省理工學院機械系博士生）

責編 | 呂浩然

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阿諾德·索末菲 (Arnold Sommerfeld), 德國理論物理學家，量子力學與原子物理學開山始祖之一。提起這個名字，我們的思緒難免會回溯到一個世紀前那場波瀾壯闊的量子革命。在那段星光璀璨的歲月里，索末菲的慕尼黑學派與尼爾斯·玻爾 (Niels Bohr) 的哥本哈根學派以及馬克思·波恩 (Max Born) 的哥廷根學派交相輝映，共同譜寫了現代物理學最激動人心的篇章。在索末菲的眾多弟子中，走出了五位諾貝爾獎獲得者，其中包括了沃爾夫岡·泡利(Wolfgang Pauli) 和維爾納·海森堡 (Werner Heisenberg) 等開宗立派的大師。而他本人則被提名了八十一次之多，可謂諾獎界的無冕之王。

相比於在量子力學上全明星式的表現，索末菲學派在其他經典物理領域的貢獻無疑顯得微不足道。然而，我們今天要講的，正是索末菲學派與一門經典學科之間的淵源與糾葛。世人皆驚嘆於大師們在虛幻鬼魅的量子世界中天馬行空的想像和洞若觀火的解析，卻未必知道，曾有這樣一個經典力學的問題，困擾了整個學派數十年之久，窮兩代人之力，亦無法給出一個滿意的解答。在索末菲學派的鼎盛時期，這個問題讓眾多英才們如鯁在喉，心結難解。

這門學科，叫做流體力學；而這個問題，則是平行流動中的湍流觸發機制。

1、風雲初起

故事要從奧斯鮑恩·雷諾 (Osborne Reynolds) 那次著名的實驗講起。1883年，雷諾在管流實驗中發現，管道中流體的流動可以呈現兩種截然不同的流態。當流速較低時，流體質點的軌跡線互相平行，互不摻雜，呈現層狀流動的狀態。當流速高於一個特定臨界值時，流體質點的軌跡線開始變得紊亂，不規則的側向脈動，流場中的漩渦也相伴出現。前者被稱為層流，後者被稱為湍流。可是，湍流為什麼以及何時會產生？現象背後的機理究竟是什麼？這個問題，雷諾卻百思不得其解。

十餘年間，無人理出任何頭緒。

2、初窺門徑

索末菲對這一問題的研究始於1900年。這一年，索末菲32歲，已是亞琛工業大學的教授。在之前的人生中，他受到過費迪南德·林德曼 (Ferdinand Lindemann)、大衛·希爾伯特(David Hilbert)、埃米爾·維舍特 (Emil Wiechert) 和菲利克斯·克萊因 (Felix Klein) 等數學、物理大師的栽培和點撥；此時的他，身兼數派，底蘊渾厚；六年之後，他將接任慕尼黑大學理論物理系的掌門人，在那裡建立他的索末菲學派，名震江湖，睥睨天下。

索末菲一定沒有忘記幾年前在哥廷根跟隨克萊因教授勤修苦練的那段日子。那時他人生的最大樂趣就是在數學閱覽室里潛心研習克萊因的數學講義。索末菲清楚地記得，在克萊因談到雷諾的實驗時，寫下了這樣一段話：「可以試圖這樣解釋湍流模態的發生：當流速高於一個臨界值時，層流的平行流動是一種不穩定的狀態。這個不穩定性發生的原因卻是不清楚的。」(「An explanation for the emergence of turbulent motions in the pipe is sought by saying: Beyond a critical speed the flow in parallel streaks is an 『instable』 form of motion. Why the instability occurs, is unknown.」)

克萊因認為，湍流的發生機理可以轉化為一個穩定性分析問題。當管流流速高於臨界值時，層流變成了一種不穩定的狀態，一個微小的擾動就足以將規則的層流破壞殆盡，使流場進入紊亂的狀態。這正如常人站在鋼絲之上，有一點風吹草動就會失去平衡。然而，如何從數學上描述這種不穩定狀態呢？

在索末菲思考這個問題的過程中，他有一個堅定的夥伴——亨德里克·洛倫茲 (Hendrik Lorentz)。此人可謂是當時物理學界的全才，他推導的洛倫茲變換後來成為了阿爾伯特·愛因斯坦 (Albert Einstein) 狹義相對論的數學基礎，他本人也因對塞曼效應的解釋於1902年獲得諾貝爾獎。索末菲最初的想法正是始於洛倫茲在1897年發表的一篇文章。文章中，洛倫茲推導了在層流場中疊加一個小擾動後流場能量的變化，索末菲循著這一思路展開了自己的研究。然而，他很快便發現這種方法走入了死胡同。

索末菲在他寄給洛倫茲的信中苦惱地訴說了這一境況，並在隨後的1903年的一次公眾演說中談到：「這似乎意味著理論流體力學體系在解決實際問題時的失效。至今仍然沒有一種精確的理論方法可以計算出這個臨界速度以及流速超過臨界值時的壓力梯度。」(「It seems that theoretical hydrodynamics would have to declare itself bankrupt in view of the practical problems of hydraulics. Still there is no precise theoretical method to determine the critical velocity and the pressure gradient beyond the critical velocity.」)

失望之餘，索末菲的思考並沒有停止。物理學的研究總是在山重水複中峰迴路轉，曲徑通幽。1906年，當索末菲讀到一篇關於板殼變形失穩的文章時，意識到類似的方法或許適用於那個一直困擾自己的問題。於是，他開始著手建立這種經典的微擾動理論運用於平行流動穩定性時的數學模型。然而，這一次他發現，雖然建立了方程，卻無法找到方程的解。數月之後，在給洛倫茲的信中，他再次提到：「可惜在解決流體力學臨界速度這個問題上我仍然一無所獲。」(「Unfortunately I still could not make progress with the problem to determine the critical velocity in hydrodynamics.」)

3、眾派之力

儘管身兼當世數位數學大師之長，但在接下來的兩年里，索末菲面對這個方程仍然一籌莫展。此時，年過不惑的索末菲體力漸衰，已有心餘力絀之感。但是他決定，為這個問題再做一次努力。這一次，他決定集江湖各派之力。

於是，索末菲將他近十年來對流動穩定性問題的思考寫入了一篇文章，寄往在羅馬召開的第四屆國際數學大會。這篇文章以對雷諾的致敬開篇：

「假設ρ為流體密度，μ為流體粘性，U為通過流動橫截面的平均流速，b為管道直徑，那麼R=ρUb/μ則是一個無量綱的純數字，我們稱之為雷諾數。」(「If ρ is the density, μ the viscosity of the fluid, U the mean velocity in a cross section, and b the diameter of the pipe, then R=ρUb/μ is a pure number which we will call the Reynolds number.」)

今世的各位流體力學家們大概不知道，整個流體力學中最重要的無量綱數——雷諾數(Reynolds number)正是在這篇文章中第一次得以命名。後來的研究發現，正是這個由管流密度、粘性、速度和直徑組合得出的無量綱數的大小，決定了流動的狀態。與其說存在一個臨界速度，更準確的說法應是存在一個臨界雷諾數Rc,當R>Rc時流動便由穩定轉為不穩定，層流轉為湍流。

索末菲繼續寫道:「我們運用經典的小擾動方法來解決這個問題，但我們的方法與洛倫茲所用的完全不同。」(「It is this problem on which we will focus here, but by a method that is entirely different from that of Lorentz, namely the classical method of small oscillations.」) 接下來，索末菲寫下了那個集自己數年之力想出的奧爾-索末菲 (Orr-Sommerfeld) 方程：

這個方程是在流體力學基本方程納維葉-斯托克斯 (Navier-Stokes) 方程上疊加微小擾動後線性化所得到的，描述的是在已知的層流速度剖面U(y)上疊加振幅為Φ(y)的微小擾動後，擾動隨時間的變化。如果對於某一特定的雷諾數，任意擾動都隨時間衰減，那麼這個流動就是穩定的。反之則流動是不穩定的。

而在數學上，要表達上述物理描述，僅需兩步：（1）找到微分方程的解Φ(y)；（2）根據邊界條件下解的存在性條件列出特徵方程，從中找到擾動隨時間的變化規律，以及臨界雷諾數Rc。

寥寥數語，天下無人能解。索末菲可能也不會想到，自己寫下的這個方程，將會在接下來的數十年里困擾著自己的學派，乃至整個數學和物理界。

當然，我們現在這麼說是有失偏頗的。當時的索末菲，思路遠沒有這麼清晰，甚至對這個方程式是否可以有效的描述湍流的發生，也沒有十足把握。正如今天連中學生都熟知的「牛頓三定律」，也是三百年前經過幾代人的思考和提煉才得出的。

就在這次羅馬會議的兩個月後，索末菲對自己的方程深感無力，在給同事的一封信中，他寫道：「我已經被湍流問題折磨的心力交瘁，幾乎將我所有的時間都獻給了這個問題，但我始終無法解決它。」(「I have tortured myself continually with the turbulence problem and spent almost all of my time with it, but I could not accomplish it.」)

索末菲個人的挑戰，宣告失敗。

天下風雲出我輩，一入江湖歲月催。欲知後事如何，且聽下回分解。

本文首發於《MIT科研范》，《知識分子》獲得作者授權刊發，內容略作編輯。

作者簡介：

潘玉林，MIT機械系博士生，在Vortical Flow Research Lab從事流體力學方面的研究工作。研究領域包括理論與計算流體力學，非線性波浪力學，弱湍流理論，螺旋槳與機翼理論。

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