理論上，象棋的所有可能情況是一個有限值還是一個無限值？

01-28

我的直觀感受覺得可能是有限的，但是如果這個結論成立，那麼我假設有兩台能計算出所有可能性的計算機互相對弈，那麼是不是就意味著在確定先後順序後，整盤棋走勢和輸贏就已經確定了？

據計算機專業的人介紹，象棋變化理論上應該是可以窮盡的，比賽也是這種在挑戰對手和挑戰自我的狀態之下的過程。至於是否兩台計算機對弈勝負已定的問題，通過目前棋手和計算機的驗證，先走方的效率價值不足以獲勝，大家更認同後走方可以抗衡的說法。

在網上看到這樣的說法：

一盤國際象棋的變化總數達到10^123(這已經遠遠超過了目前所看到的宇宙中所有的原子總數)，而一盤中國象棋的變化數量比這還要多得多，可達10^144以上。不知真假。但是我的直觀感受也是覺得是有限的。但是由於數量級太大，現有的計算水平是完全達不到的。

鑒於此，我覺得可以嘗試粗略的估計一下：

首先要知道每步有多少種選擇：

最開始，每方棋手有5個卒，車馬炮相士各2，將1

卒過河的話，每步有3種可能，不過河有1種，考慮過河的幾率比較低，算0.2吧，那麼（0.2*3+0.8*1）*5=7；

如果橫豎都沒有阻礙，車有9*9*2=162，假設阻礙導致車橫豎只有5格可走，那麼是5*5*2=50

炮類似，50

馬有8*2=16種

士與相均是有3、1兩種可能，1的可能性更大，大致取1.5*4=6；

將取2吧。

這樣的話，每步的可能性為7+50+50+16+6+2=131。

若一盤棋的期望步數是每人各下50步，那麼總的可能性為131^100。

但是隨著棋局的進行，棋子會越來越少，因此每步的可能性會越來越少。因此，開頭說的10^144的總可能性應該是靠譜的。

現在的最高性能超級計算機的計算速度是一萬萬億次每秒，即10^17/s，約3*10^24/year，那麼用這台計算機計算這些總可能性的話，需要10^120年。這是目前宇宙年齡的10^100倍以上。

即使把世界上所有的計算機都用上，也不會把這個數值降低多少。

因此總結如下：

1、可能性是有限的；

2、這個可能性的總量太大，因此至少短時間內不能實現窮舉

所有布局情況是有限值

但是整個棋局包含一個棋盤布局的鏈表，這種情況考慮到無意義走棋可以是無限的(直觀的說就是和局可以導致無限情況)

但是從勝負的角度來說只要考慮有限狀態就可以了

我只是補充一下上面段楠的計算。

首先其中循環局面和對稱局面未能剔除，其次很多顯然不可能的走法（比如第一步走帥五進一，車一進一，兵五進一等都是很明顯不能走的著法），還有一些是有悖棋理的冷僻招法（比如開局走相三進一或者兵九進一），這些都除去的話一個局面一般也就二十多種可能。比如開局第一步，可能的走法有：

兵三進一，炮二平五，炮二平四，馬二進三，相三進五（高手對戰中比較常見的走法）

炮二平三，炮二平六，炮二平七，炮二退一，馬二進一，仕四進五，相三進一，兵九進一（高手幾乎不用的冷僻走法。）

一共只有十三種走法。

後面有些局面選擇也很少，比如紅方走炮二平五，黑方正常的選擇只有炮2平5，炮8平5，馬2進3，馬8進7，勉強算上象3進5和象7進5，只有六種走法，其他走法都是嚴重不和棋理的，根本不用考慮。但如果紅方採用如飛相開局的話，黑方的選擇就會多起來了。

另外一方面是殘局由於子力少，走法就會增多起來，馬有八面威風都能走到，車炮也基本上橫豎兩條線都可以走，走法大大增加，有時可能會有四五十種走法。

但殘局的好處是有很多情況是不用再推演了的，比如走到車兵對士象全，那麼無論黑方怎樣抵抗，只要紅方不出大漏著都是有辦法獲勝的了，推演可以到此截至。又比如單車對士象全的官和局面，只要幾步之內不丟子，也無需再推演，如何守和有固定的走法。另外還有一些象棋理論認為很容易獲勝的：比如殘局時一方多一大子兩兵以上，或者中局多兩大子以上，只要幾步之內不被將死、捉死、抽吃，也都認為是很容易獲勝的局面，這些也可以不必再推演了。

所以平均一下一步應該是按二十種走法算足夠了。

按照以上的簡化總步數也應該能減小一些，四十步就夠了

20^80 大概是 1.2*10^104左右，不過這依然是個很龐大的數字，以可預見的未來的計算能力不可能窮舉。

有限。

如果使用窮舉的辦法，理論上是一個有限值，但是對於人類來講，太大的有限值也相當於無限值。計算機在很早就已經戰勝人類的象棋選手了，靠的並不是無腦的窮舉，而是一種Alpha-beta演算法。這種演算法的本質是一種二分搜索樹（通俗來講就是列出所有可能的步驟），但是會根據一些條件，刪除掉不必要的分支。這樣，使得計算機能在可接受的步驟內得到最優解。由於圍棋的變化太大，Alpha-beta演算法無法很好的使用，這也是為什麼圍棋是人類最後被計算機戰勝的棋類遊戲。而Alpha go 使用的是機器學習的方法。

有的時候數學上「解存在」和「你解得出來」是兩個概念，就好比實係數多項式函數當最高項為奇次時至少有一個實根，但是求根公式你推不出來。

傳統意義上的棋類在規則完善的條件下「所有可能情況」都是有限的，這裡以國際象棋為例，從過程和狀態兩個角度進行分析：

1.過程

每一步每個棋手可走的棋步數是有限的：王不超過8種、後不超過27種……或者按照最極(sheng)端(shi)的方式考慮，步數少於棋子數16*棋盤格數64，這是一個有限值，而國際象棋規定，連續50回合沒有吃子判和，也就是說最多持續不會超過30個50回合（除了王都吃光了），那麼國際象棋的總可能數小於(16*64)^(50*2*30)，而這個數是有限大的。由於我們之前所有的數字都是取極端並且做了很大的放大，實際上的值遠遠小於這個數。

2.狀態

下面從另一個角度考慮，一盤國際象棋，如果雙方在「磨棋」，那麼上一個回合和下一個回合局勢重複（重複次數多了會造成三次重複和），而這種重複在實際比賽中是沒有任何意義的。所以我們考慮所有棋子擺在棋盤上共有多少種可能。還是簡單粗暴地算一下：一共有64個格子，每個格子上的棋子有不超過12種可能（白黑雙方的車、馬、象、王、後、兵），所以狀態數小於12^64種，這個數字還是有限大的，事實上這些狀態中甚至包含了64個白王之類的這種極端情況，實際的狀態數還是會遠小於這個數。

同理可證，中國象棋的「所有可能情況」也是有限的。再加上正規比賽中，雙方有時間限制，而走棋是需要時間的，所以總步數一定會受到這個限制。

然而這個數值太過龐大，計算機hold不住，所以不要考慮用暴力窮舉的方式能夠遍歷所有可能。

任何體育運動都是無極限的，不可能出現兩場一樣的比賽，棋類也是一樣。正如世界上不會有兩個一模一樣的東西，可以從哲學意義上來考慮。