古典變分法（下）

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這次主要討論兩個問題，一個是可移動邊界的變分問題，另一個是含有哈密頓運算元和矢量的泛函的變分問題。在文章の第三部分會給出一些物理上的例子，，，，，，

有關變分原理の內容會用到一些泛函分析的知識所以放到泛函分析之後再做介紹。

第一部分：可移動邊界的變分問題

以最速降線問題為例，我們在研究積分型泛函求極值的問題時，總是先假定其積分限固定不變。現在考慮這樣一個問題，如果積分限是可變動の，那會怎樣？

1，最簡泛函の變分問題：

設泛函 $J=int_{x1}^{x2} F(x,y,y)dx$ ，的極值曲線 $y=yleft( x right)$ の左端點在 $y=varphi left( x right)$ 上待定，右端點在 $y=psi left( x right)$ 上待定。

則：左端點在 $x=x_{0}$ 處必滿足： $left[ F+(varphi -y)F_{y} right] _{x=x_{0} }=0$ ；

右端點在 $x=x_{1}$ 處必滿足： $left[ F+(psi -y)F_{y} right] _{x=x_{1} }=0$ ；

以上兩式是由 $delta J=0$ 推導出來の，故稱為自然邊界條件。

2，依賴多個函數的變分問題：

設泛函 $J=int_{x0}^{x1} F(x,y,z,y,z)dx$ 的極值曲線左端邊界條件 $y(x_{0})=y_{0}$ ， $z(x_{0})=z_{0}$ 固定，右端點在已知曲線 $y_{1} =varphi left( x_{1} right)$ ， $z_{1} =psi left( x_{1} right)$ 上變動，則極值曲線必滿足：

$left[ F+(varphi -y)F_{y} +(psi -z) F_{z} right] _{x=x_{1} } =0$ ，稱為橫截性條件。若左端也是可動的，則和右端做同樣的處理。

例子：

求圓周 $Gamma _{0}:Phi _{0} =x^{2} +y^{2}- a^{2}=0 ,z=0$ 與雙曲線 $Gamma _{1} :Phi _{1} =z^{2} -x^{2}-b^{2}=0 ,y=0$ 之間的最短距離。

選取 $z$ 作為自變數，設曲線過 $Gamma _{0}$ 上任意一點 $Aleft( x_{0} ,y_{0},0 right)$ ，過 $Gamma _{1}$ 上任意一點 $Bleft( x_{1} ,0,z_{1} right)$ ，且所求曲線為： $x=xleft( z right) ,y=yleft( z right)$ ，它使得泛函 $Jleft[ xleft( z right),yleft( z right) right] =int_{0}^{z1} sqrt{1+y^{2} +x^{2} } dz$ 取最小值。其歐拉方程為：

$-frac{d}{dz} frac{x}{sqrt{1+x^{2} +y^{2} } } =0$ ， $-frac{d}{dz} frac{y}{sqrt{1+x^{2} +y^{2} } } =0$ ，其橫截條件為：

$left( F_{x}- F_{y} frac{Phi _{0x} }{Phi _{0y} } right)_{z=z_{0} } =0$ ， $left( F-xF_{x}-yF_{y}-F_{x} frac{Phi _{1z} }{Phi _{1x} } right)_{z=z_{1} }=0$ ，解之得：

$x(z)=pm frac{a }{2sqrt{b^{2} +frac{1}{4}a^{2} } }$ ， $y(z)=0$ ，所以，最短距離為：

$J=int_{0}^{z1} sqrt{1+x^{2} +y^{2} } dz=sqrt{b^{2} +frac{1}{2} a^{2} }$ .

3，依賴高階導數的變分問題：

設泛函 $J=int_{x0}^{x1} F(x,y,y,y)dx$ 在某一端點固定，另一端點 $left( x_{1} ,y_{1} right)$ 在曲線 $y_{1} =varphi (x_{1})$ 上變動，且 $y_{1} =psi (x_{1} )$ ，則該泛函的極值曲線 $y=yleft( x right)$ 在端點 $x=x_{1}$ 處必滿足自然邊界條件：

$left[ F+(varphi -y)(F_{y}-frac{d}{dx} F_{y})+(psi -y)F_{y} right] _{x=x_{1} }=0$ .

4，依賴多元函數的變分問題：

設泛函 $J=int_{D}^{}F(x,y,u,u_{x}, u_{y})dxdy$ 取極值，其邊界曲線在已知曲面上， $varphi =varphi left( x,y right)$ ，則：

$F+(varphi _{x}- u_{x} )F_{u_{x} } +(varphi _{y} -u_{y} )F_{u_{y} }=0$ .

第二部分：依賴哈密頓運算元和矢量の變分問題

下面用 $D$ 表示哈密頓運算元，小寫字母為標量，大寫字母為矢量。

1，依賴哈密頓運算元的變分問題：

泛函 $J=int_{V}^{} F(u,Du,|Du|)dV$ 取極值，相應的歐拉方程和邊界條件為：

$F_{u} -Dcdot frac{partial F}{partial (Du)} -Dcdot frac{partial F}{partial (|Du|)} frac{Du}{|Du|} =0$ ，

$(frac{partial F}{partial (Du)} cdot N)_{S} =0$ ， $(frac{partial F}{partial |Du|} frac{Du}{|Du|} cdot N)_{S}=0$ .

2，依賴矢量的變分問題：

泛函 $J=int_{V}^{}F( A,|A|,Dcdot A,Dtimes A,|Dtimes A|)dV$ 取極值，相應的歐拉方程和邊界條件為：

$frac{partial F }{partial A} -Dfrac{partial F}{partial (Dcdot A )} +Dtimes frac{partial F}{partial (Dtimes A)} +frac{partial F}{partial |A|} frac{A}{|A|} +Dtimes frac{partial F}{partial |Dtimes A|} frac{Dtimes A}{|Dtimes A|} =0$ ，

$(Ncdot frac{partial F}{partial (DA)} )_{S} =0$ ， $(frac{partial F}{partial (Dcdot A)} N)_{S}=0$ ， $(frac{partial F}{partial (Dtimes A)} times N)_{S} =0$ ，

$(frac{partial F}{partial |Dtimes A|} frac{Dtimes A}{|Dtimes A|} times N)_{S} =0$ .

第三部分：物理學中の例子

1，靜電場：

靜電場的能量為： $J=int_{V}^{}( rho _{e} varphi -frac{varepsilon _{0} }{2} (Dvarphi )cdot (Dvarphi ))dV$ ，其對應的歐拉方程為：

$Delta varphi =-frac{rho _{e} }{varepsilon _{0} }$ ，即為靜電場の泊松方程。

2，電磁場：

電磁場的拉格朗日密度函數為： $L=frac{1}{2}(varepsilon E^{2} -frac{1}{mu } B^{2} )-rho varphi +Jcdot A$ ，使用洛倫茨規範，其相應的泛函（作用量）為：

$J=int_{t0}^{t1} int_{V}^{} LdtdV=int_{t0}^{t1} int_{V}^{} left[ frac{varepsilon }{2}left( Dvarphi right) ^{2} +varepsilon Dvarphi cdot A_{t} +frac{varepsilon }{2}A_{t}^{2} -frac{1}{2mu } (Dtimes A) ^{2}-rho varphi +Jcdot A right] dtdV$

其歐拉方程組為：

$Dtimes H=J+frac{partial D}{partial t}$ ， $Dcdot D=rho$ ，結合洛倫茨規範，利用 $Dtimes Dvarphi =0;Dcdot Dtimes A=0$ 可得：

$Dtimes E=-frac{partial B}{partial t}$ ， $Dcdot B=0$ ，即為Maxwell方程組。

3，超導體

超導體の吉布斯自由能可寫為： $J=int_{V}^{}(a_{n}+a_{1}|psi | ^{2} +a_{2} |psi |^{4} +frac{1}{2m} |-ifrac{h}{2pi }Dpsi -eApsi |^{2} +frac{|B|^{2} }{2mu _{0} } -Bcdot H)dV$ ，其中： $a_{n}, a_{1}, a_{2}$ 為溫度的函數， $H$ 恆定。將泛函的拉格朗日函數帶入相應的歐拉方程組，可得：

$a_{1}psi +2a_{2}|psi |^{2}psi +frac{1}{2m} (-ifrac{h}{2pi } D-eA)^{2} psi =0$ ，

$J_{s} =frac{Dtimes B}{mu _{0} } =frac{ieh}{4pi m} (psi Dpsi ^{ast } -psi ^{ast } Dpsi )-frac{e^{2} }{m} |psi |^{2} A$ ，即為金茲堡—朗道方程。