古典變分法（上）

01-28

物理系的同學在本科的時候可能經歷過這樣一件事。或許是因為好奇，或許是為了複習，又或許是因為朋友的推薦，你在網上訂了朗道的理論物理教程第一卷，「力學」。結果，僅僅學過高數，線性代數，和普通物理的你，看了沒幾頁就有點兒懵逼了。你把第一章翻看了幾遍之後，大概有了些頭緒，還是有些地方始終使你感到迷惑，為什嘛力學體系の微分方程會等價於這個奇怪的「積分」 $S=int_{t1}^{t2} Ldt$ 取極值呢？苯寶寶不明白啊(づ??????)づ......在當時，能給你留下深刻影響的，或許就只有「這部分推導用了分部積分」了......

那麼，今天我們就來看看古典變分法吧( ^_^ )/~，古典變分法主要討論的是積分型泛函求極值の問題。當然這裡主要討論的是泛函求極值的必要條件。

第一部分：變分法の初步介紹

1，古典變分法主要解決的是積分型泛函求極值問題，這裡の積分型泛函，指的是某個函數空間到一維實數空間 $R^{1}$ 的映射，即：「我給你一個函數，你給我出一個實數」。

例子：

（1） $J =int_{t1}^{t2} Fleft( x(t),x(t),t right) dt$ ，其中,J是一元函數的某個集合到一維實數空間 $R^{1}$ の映射，F稱為泛函S的拉格朗日函數（也是關於 $x(t)$ 的泛函）。

（2） $J=int_{S}^{} F(u(x,y),u_{x} (x,y),u_{y}(x,y),x,y)dxdy$ ，是關於多元函數的泛函，F為其拉格朗日函數。

2，泛函求極值問題，即是要找出函數空間內的一類函數，使這類函數在映射下的像（實數）取得極值。可以看出，泛函求極值問題就是要在某個函數的集合中，尋找滿足極值條件的一類函數。再來看微分方程，微分方程某種意義上是在尋找一類讓微分方程成立的函數（也是在找函數）。實際上我們可以求出與泛函求極值問題等價的微分方程，也可以構造與微分方程等價的泛函求極值問題。

3，那麼我們該怎樣做，才能把泛函求極值問題轉化成微分方程的求解問題呢？先來看看一元函數吧，一元函數 $y=fleft( x right)$ ，是 $R^{1}$ 到 $R^{1}$ 的映射，它取極值的必要條件是函數 $y=f(x)$ 的導數為零，即 $frac{dy}{dx} =0$ ，這是一個代數方程，它的解為實數。再來看關於一元函數の泛函， $J=int_{x1}^{x2} F(y(x),y(x),x)dx$ ，是一元函數集合到 $R^{1}$ 的映射，它取極值的必要條件是泛函 $J=Jleft[ y(x)right]$ ,的變分（類比於函數的導數）為零，即 $delta J=0$ ，這是一個微分方程（就是我們要的），我們稱其為歐拉方程，它的解為一元函數。

4，同理，關於一元函數的泛函 $J=Jleft[ y(x) right]$ 的極值問題，對應於一個是常微分方程；關於多元函數的泛函 $J=Jleft[ u(x,y)right]$ 的極值問題，對應於一個偏微分方程。我們可以從泛函取極值推出微分方程的成立（必要條件）；但不能直接從微分方程的成立推出泛函一定取極值（必要條件）。

第二部分：依賴於一元函數的泛函的極值問題

1，最簡泛函的變分問題：

$Jleft[ y(x) right]=int_{x1}^{x2} F(x,y,y)dx,y(x_{1})=y_{1} ,y(x_{2} )=y_{2}$ ，其對應的歐拉方程為：

$F_{y} -frac{d}{dx} F_{y} =0$ ， $y(x_{1})=y_{1},y(x_{2} )= y_{2}$ .

例子：最速降線問題

$y(0)=0,y(x_{1} )=y_{1}$ ，由動能定理得： $frac{1}{2} mv^{2} =mgy$ ， $v=sqrt{2gy}$ ， $v=frac{ds}{dt}=frac{ds}{dx}frac{dx}{dt} =sqrt{1+y^{2} } frac{dx}{dt}$ ， $T=int_{0}^{x1} sqrt{frac{1+y^{2} }{2gy} } dx$ ，我們要求的就是泛函 $T=Tleft[ y(x) right]$ 的極小值對應的曲線 $y=y(x)$ 。

帶入歐拉方程並積分得： $sqrt{frac{1+y^{2} }{2gy} } -frac{y^{2} }{sqrt{2gyleft( 1+y^{2} right) } } =c_{1}$ ，令 $c=frac{1}{2gc_{1}^{2} }$ ， $y=cottheta$ ，方程化簡為： $y=frac{c}{1+y^{2} } =csin^{2} theta =frac{c}{2} (1-cos2theta )$ ，因為， $dx=frac{dy}{y}=frac{csin2theta dtheta }{cottheta } =c(1-cos2theta ) dtheta$ 積分得： $x=frac{c}{2} left( 2theta -sin2theta right) +c_{2}$ ，帶入邊界條件，令 $t=2theta$ 得：

$x(t)=frac{c}{2} (t-sint)$ ， $y(t)=frac{c}{2} (1-cost)$ ，這不就是旋輪線方程嘛(づ￣ —￣)づ

2，依賴於多個一元函數的變分問題：

$Jleft[ y(x),z(x) right] =int_{x1}^{x2} F(x,y,y,z,z)dx$ , $y(x_{1})=y_{1} ,y(x_{2})=y_{2},z(x_{1} )=z_{1} ,z(x_{2} )=z_{2}$ ，其對應的歐拉方程組為：

$F_{y} -frac{d}{dx} F_{y} =0$ ， $F_{z}- frac{d}{dx} F_{z} =0$ ， $y(x_{1} )=y_{1} ,y(x_{2} )=y_{2} ,z(x_{1} )=z_{1} ,z(x_{2} )=z_{2}$ .

例子： $S=int_{t1}^{t2} left( T-Uright) dt$

我們來看一下與泛函 $Sleft[ x(t),y(t),z(t) right] =int_{t1}^{t2} left[ frac{1}{2}mleft( x^{2} +y^{2}+ z^{2} right) -U right] dt$ 對應的微分方程，將它的拉格朗日函數帶入歐拉方程得：

$-frac{partial U}{partial x} =mx$ ， $-frac{partial U}{partial y} =my$ ， $-frac{partial U}{partial z} =mz$ ，這就是直角坐標系下的牛頓第二定律吖。

3，依賴於高階導數的變分問題：

$Jleft[ y(x) right] =int_{x1}^{x2} F(x,y,y,y)dx$ , $yleft( x_{1} right) =y_{1} ,y(x_{2})=y_{2},y(x_{0})=y_{0} ,y(x_{1} )=y_{1}$ ，其對應的歐拉方程為：

$F_{y} -frac{d}{dx} F_{y}+ frac{d^{2} }{dx^{2} } F_{y} =0$ ， $y(x_{1} )=y_{1} ,y(x_{2} )=y_{2} ,y(x_{1} )=y_{1} ,y(x_{2} )=y_{2}$ .

例子：

現在考慮這樣一個問題O(∩_∩)O~，我們有長度為Lの兩端簡支彈性梁，承受著均勻分布的載荷q的作用，那麼梁取什麼樣的撓度曲線時，系統的總勢能最小呢？

設撓度曲線為 $y=y(x)n$ ，梁の抗彎剛度為 $EI$ ，系統的總勢能等於梁的彎曲應變能加上載荷勢能。

$U=frac{1}{2} int_{0}^{L} left( EIy^{2}-2qy right) dx$ ，邊界條件為： $y(0)=y(L)=y(0)=y(L)=0$ ，帶入歐拉方程得： $EIy-q=0$ ，其通解為：

$y(x)=frac{q}{24EI} x^{4} +c_{1} x^{3}+ c_{2} x^{2}+ c_{3} x+c_{4}$ ，帶入邊界條件得：

$y(x)=frac{qx}{24EI} (x^{3} -2Lx^{2} +L^{3} )$ ， $left(0 leq xleq L right)$ ，此時系統的總勢能為：

$U=frac{1}{2}int_{0}^{L}left[ frac{q^{2} }{4EI}(x^{2}-Lx ) ^{2}-frac{q^{2} x}{12EI} (x^{3}-2L x^{2}+ L^{3} ) right] dx=frac{q^{2} L^{5} }{240EI}$ 。

同理，當梁的兩端為固支時，方程通解不變，只要把邊界條件變為： $y(0)=y(L)=y(0)=y(L)=0$ ，即可。

第三部分：依賴於多元函數的變分問題

設平面區域D， $u=u(x,y)$ 在D的界的情況已知。

$Jleft[ u(x,y) right] =int_{D}^{} F(x,y,u,u_{x} ,u_{y})dxdy$ ，其對應的歐拉方程為：

$F_{u}- frac{partial }{partial x} F_{u_{x} } -frac{partial }{partial y} F_{u_{y} } =0$ ， $u=uleft( x,y right)$ （邊界上）

例子：

（1）靜電場的能量：

$U=int_{V}^{} left[ rho varphi -frac{varepsilon _{0} }{2} left( u_{x}^{2}+ u_{y}^{2} +u_{z}^{2} right) right] dxdydz$ ，將能量密度帶入歐拉方程可得：

$u_{xx} +u_{yy}+ u_{zz} =-frac{rho _{e} }{varepsilon _{0} }$ ，這就是靜電場的泊松方程。可以證明，泊松方程是其取極值的充分必要條件，故靜電場的庫侖定律等價於靜電場の能量取極值。

（2）弦的振動方程：

$S=int_{Omega }^{} left( frac{1}{2} rho u_{t}^{2} -frac{T}{2} u_{x}^{2} right) dxdt$ ，帶入歐拉方程即可得：

$u_{tt} =a^{2} u_{xx}$ ，即為弦の振動方程。

到此我們介紹了一些積分型泛函求極值の必要條件。下面還有四個重要的問題沒有介紹：

1，可移動邊界的變分問題。

2，條件極值的變分問題。

3，含有，矢量，哈密頓運算元，張量，的變分問題。

4，積分型泛函取極值の充分條件。

其實，從物理的角度看，最小作用量原理有著很多物理上的好處：

1，處理力學問題時不必再進行受力分析，這是本科初學階段最直接的好處。

2，可以利用拉格朗日乘數法處理有約束の問題，下次我們會通過分析一個實例「單擺」，來介紹這部分內容。

3，方便推廣到場論部分以及進一步進行場的量子化。

4，方便討論體系の對稱性的問題（以後專門寫一次諾特定理吧）。

完啦，這次の已經沒了╮(╯_╰)╭。。。。。。